多元函数极限与连续.ppt

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1、数学分析复习（二）多元函数的极限与连续一、多元函数的极限定义设DRn,f:D→R.点a∈Rn是D的一个聚点(a∈D′),s∈R.如果>0,>0,当xD及则称函数f在点a处有(重)极限，或当x趋于a时,f(x)趋于s,记作或

2、f(x)-s

3、<,1定义设DRn为函数f的定义域，P0为D的一个聚点。如果M>0,P0的一个空心邻域使当P∈∩D时,,则称f在D上当P→P0时，存在非正常极限+∞，记作无穷小量的定义与性质.2命题：设DRn,f:D→R.点P0(x0,y0)∈Rn是D的一个聚点(P0∈D′),A∈R.P(x,y)∈D34性质:(1)四则运算法

4、则(2)归结原理(3)唯一性、局部有界性、局部保号性(3)无穷小量性质5如何求多元函数的极限？（1）由定义求多元函数的极限。例1证明:证明:例2证明:6例3证明:证明：7此时，8(2)利用极限的四则运算和复合运算求极限.(经变形后)910(3)化为一元函数求极限.如11(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0≤r<∞),使求的问题，变为求的问题。但必须要求当r→0的过程中，与的取值无关。如12（5）利用无穷小量性质（无穷小量与有界量之积仍为无穷小量)，如13(6)夹逼准则：设DRn,P0∈D′,且则例求解：因为极限过程为x→+∞,y→+∞,可设x>0,y>0

5、.于是14例求解：所以15例求下列极限：（1）可设2≤x≤4,

6、y

7、≥8.161718例证明下列极限不存在:(利用归结原理的推论)1920二、多元连续函数定义性质（局部性质与有界闭集上的连续函数的性质）一致连续有界闭区域上连续函数的性质21(二)多元函数连续的定义定义设f是定义在点集DRn上的n元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。若>0,=(P0,)>0,只要PU(P0,)∩D,就有则称f关于集合D在点P0连续，简称f在点P0连续。若P0是D的孤立点，则P0必为f关于D的连续点;22若P0是D的聚点,则f在P0点连续，要求满足：(

8、1)f在P0点有定义f(P0);(2)(3)若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。如果P0是D的聚点，而不成立，则称P0是f的不连续点（或间断点）。特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),称P0是f的可去间断点。23P.136:第1题:讨论下列函数的连续性:而及所以2425第9题:设f在R2上连续，且证明:(1)f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。证明：由于存在M>0,使当r≥M时有而当x2+y2≤M2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即取W=max{

9、A

10、+1,K},则26（2）当在有界闭区域上函数f一致连续。再证f在R上一致连续.27从而,f在R上

11、一致连续.28第6题：设f(x,y)在开集GR2上对x连续，对y满足Lipschitz条件：证明：P0(x0,y0)G，由于f对x连续，G是开集，从而存在U(P0,)G,从而f(x,y0)在x0连续，于是>0,1>0,当

12、x-x0

13、<1时，有当

14、x-x0

15、<,

16、y-y0

17、<，且29(x,y)∈G,必有(x,y0)∈且30