多元函数的极限与连续2010.ppt

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1、第五章多元函数微分学及其应用第一节预备知识1.n维Euclid空间Rn与点集的概念n维实向量记它满足加法和数乘，所以它构成一n维实向量空间（或n维实线性空间）若定义内积：则Rn构成一n维Euclid空间。n维空间中两点（向量又称为点）之间的距离定义为向量x的长度定义为：与为以a为中心，为半径的开球或点a的邻域。称：为点a去心邻域。可分别简记为N(a),(a)设aRn,0,称设ARn,aRn.（3）若A中的点全是A的内点，则称A为开集.(5)若M>0,使得xA,都有

2、

3、x

4、

5、

6、M,则称集合A为的有界集.否则,称之为无界集.A为区域:A为连通开集.如A为闭区域:区域连同它的边界.如A为连通集:对任意的都可用一条包含在A内的折线把x,y连起来.区域A的直径：2多元函数的概念定义2.1设ARn是一个点集，称映射f:A→R是定义在A上的n元数量值函数。简称为n元函数。记为y=f(x)=f(x1,…,xn),其中x=(x1,…,xn)A称为自变量,y称为因变量。D(f)=A称为f的定义域，R(f)={y

7、y=f(x),xD(f)}称为f的值域。除非特别说明,或有实际意义

8、,凡用算式表达的多元函数,其定义域都是指自然定义域,即全体使得算式有意义的自变量所成的点集.{(x,y)R2

9、

10、x

11、1,

12、y

13、1};例如:的定义域为而z=ln(x+y)的定义域为{(x,y)R2

14、x+y>0}.定义2.2设ARn是一个点集，称映射f:A→Rm(m2)是定义在A上的n元向量值函数。也可记为y=f(x)=f(x1,…,xn),其中x=(x1,…,xn)A称为自变量,y=(y1,…,ym)Rm称为因变量。f=(f1,…,fn)其中x=(x1,…,xn)A为自变量,y=

15、(y1,…,xm)B为因变量.一个n元m维向量值函数y=f(x)对应于m个n元数量值函数若用列向量表示,即例1空间R3中曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t)t[,]R,为一元向量值函数，可写成：r=r(t)第二节多元函数的极限与连续性定义2.3(二重极限）设函数z=f(x,y)=f(M)在点集E上有定义,点M0(x0,y0)是E的聚点,aR是一个常数.若>0,>0,使得恒有

16、f(M)a

17、<,则称(x,y)(x0,y0)时，f(x,y)有极限，且称a

18、为当(x,y)(x0,y0)时f(x,y)的极限，记作：或这个极限常称为二重极限.以二元函数为例.否则，称(x,y)(x0,y0)时，f(x,y)没有极限。二重极限的定义与一元函数极限的定义无多大差别，因此一元函数极限的许多性质（如：唯一性，局部有界性，局部保号性，夹逼准则，heine定理，有理运算法则等）可推广到二重极限上来。证明:的定义域E=R2{(0,0)},

19、f(x,y)0

20、

21、y

22、故>0,取=,则当时,恒有

23、f(x,y)0

24、<.故例2.证明:但二重极限远比一元函数的

25、极限复杂.二重极限存在,指点(x,y)以任何方式趋于点(x0,y0)时,函数f(x,y)都无限接近于a.若(x,y)按两种不同的方式趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于两个不同的值,则可断定函数极限不存在.例4设问极限是否存在?解:当点(x,y)沿直线y=x趋向于(0,0)时,有当点(x,y)沿直线y=2x趋向于(0,0)时,有不存在.故极限定义2.4(二元函数连续性）设有点集ER2,f:ER是一个二元数量值函数。点M0(x0,y0)是E的聚点,并且M0(x0,y0)A,如果则称函数f(

26、x,y)在点M0(x0,y0)处连续,并称M0(x0,y0)为f的连续点,否则称f在(x0,y0)处间断。若f在点集E中每一点处都连续,则称f在集合E上连续，称f为E上的连续函数.注:1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广到多元函数中,如四则运算及复合等:多元连续函数的和,差,积,复合均为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.注:2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续,则一元函数(x)=f(x,y0)和(y)=f(x0,y)分别在x0和y0处连续,但反之未必,如在(0,0)

27、处.二元函数的极限和连续性很容易推广到n(n>2)元数量值函数与向量值函数。定理2.1设f(x,y)是有界闭集E上的连续函数，则(1)（有界性）f在E上有界，即存在M>0,使得xE,有

28、f(x)

29、M.(2)（最值）:f在E上必能取到最大值与最小值。（介值性）若函数f(x)在有界连通闭集E上连续,m与M分别是f在E上的最小值与最大值，则对,m<