多元函数的极限

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1、数学分析多元函数的极限与连续重极限与累次极限浙江师范大学数学系1复习二元函数极限的定义2例1讨论函数等值图解当点(x,y)沿任何直线趋于原点时，但是，当点(x,y)沿抛物线y=kx2(0

2、f(x,y)-0

3、<,不论取因此，对4例3讨论函数函数图像等值图分析：则有f(x,y)=f(rcos,rsin)当=0,/2,,3/2时，上式的值为0；当取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,2,3)

4、的值时，总有：作极坐标变换x=rcos,y=rsin(),当时的极限.5

5、f(rcos,rsin)

6、<下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.

7、f(rcos,rsin)

8、<对例2，用“”语言表示为：恒有对例3，用“”语言可表示为：对6解当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时,f(x,y)=f(ky2,y)当k=1和k=2时，上式的值分别是因此，7注：(ⅰ)求二元函数极限的一般思路是转化为一元函数的极限来处理.(ⅱ)极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一，但要注意的是：极限必须关于一致成立.8

9、二、累次极限定义3存在极限而且进一步存在极限则称此极限L为二元函数f先对x(→x0)后对y(→y0)的累次极限，并记作设Ex,EyR,x0是Ex的聚点,y0是Ey的聚点,二元函数f在集合D＝ExEy上有定义.若对90y0x0重极限存在与累次极限存在之间有什么关系？0(x0,y0)10例4求函数在点(0,0)的重极限和累次极限.OxyO11若将函数定义修改为则有:但仍然有此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在.OxyO12例5讨论函数在点(0,0)的重极限和累次极限.解当y≠0时，同样，当x≠0时但由于因此，函数图像13

10、0y0x0重极限与累次极限的关系分析图14定理16.6若f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限且存在δ>0,对任意x∈U0(x0;δ),存在极限也存在，且则累次极限15在(*)式中令y→y0,这就说明了=A.证明点(x0,y0)记为P0,由定义，对当时，有取(*)由条件，对存在极限则当时,16定理16.6若f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限与累次极限则它们必相等.17如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？18推论1若累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2若累

11、次极限存在但不相等，则重极限19例6函数在点(0,0)的两个累次极限分别为=1=-1与因此，根据上面的推论2，重极限不存在.20作业：P1292(2)(3)(5)(7),6,82122y=x2f=1f=0Oxy2324