《函数极限》word版

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1、高等数学上册讲稿第一章第三节函数的极限（三）教学目的：（1）会用两个重要极限求极限；（2）了解无穷小阶的概念；（3）掌握常用等价无穷小，会用等价无穷小替换求极限．教学重点：两个重要极限，无穷小比较的理解，等价无穷小教学难点：重要极限证明教学方法：讲练结合教学时数：2课时一、两个重要极限1.──证明：①当时，作一单位圆，如图设圆心角取弧度因为，故得即．由，两端同时除以，，或．从而，，（*）当时，,由（*）式，得，即.故，当时，有．由夹逼原理得，．说明：①函数在无定义，但极限仍然存在，此极限属于型的极限；②当时，．例1．求5高等数学上册讲稿第一章解：．例2．求解：．例3

2、．求解：令．例4．求．解：因为，可设，当时，，所以，=．2．──证明：先证．当时，设则有不等式．由于，因此，由夹逼原理得．再证：．令综上，.5高等数学上册讲稿第一章说明：（1）公式的另一形式：利用代换,则当时，.于是，又可写成（2）推广：若则；若则．例5．求解：例6．求．解：例7．求解：或：练习：求下列极限：1.2.3.4.5.二、无穷小的比较观察时，函数极限，，极限，易知，三个函数均为无穷小．但是；；，反映了不同的无穷小趋向于零的“速度”有“快”、“慢”之分．1.定义3.5在同一极限过程中，设，均为无穷小，则（1）如果，称是比高阶的无穷小；记作；或称是比低阶的无穷

3、小；（2）如果，称与为同阶无穷小；记作；特别当时，即称与为等价无穷小，记作；5高等数学上册讲稿第一章（3）如果，称是的阶无穷小．若，则称是当时的k阶无穷小．因，根据定义，与是时的等价无穷小，即；又，与为同阶无穷小，或是的二阶无穷小；由，，（）；2.等价无穷小替换求极限定理3.8设在同一自变量的同一变化过程中，是无穷小，且，如果存在，那么．证明：．▲常见的等价无穷小：①当x→0时，（以后证明）．②一般若，则有推广的等价关系：,,......例8．求．解：令，则．当时，，则或，即：（）．5高等数学上册讲稿第一章例9．求解：当时，故．说明：若未定式的分子或分母为若干个因子

4、的乘积，则可对其中任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小的代换，而不会改变原式的极限．例10．求极限．解：利用等价代换公式，（），，例11．错解：所以，解：注意：等价无穷小的代换只能对分子或分母中的无穷小进行，而对于加、减中的每一项不能分别作代换．例12．求．解：内容小结:1.两个重要极限2.无穷小的比较3.等价无穷小替换求极限求极,记此极限为,求函数的间断点,并指出其类型5