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1、多元函数微积分空间解析几何简介二元函数的概念偏导数和全微分第六章多元复合函数与隐函数的微分法多元函数的极值二重积分空间解析几何简介二元函数的概念平面直角坐标系oxy平面内任取一点O——原点过O点另作一垂线——y轴（纵轴）过O点做一直线——x轴（横轴）两坐标轴分平面为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。平面内的点与实数对一一对应ⅠⅡⅢⅣP(x,y)xy空间解析几何简介空间直角坐标系（三维直角坐标系）右手原则（纵轴）（横轴
2、）（竖轴）O空间直角坐标系OOO平面平面平面O三个坐标平面分空间为八个卦限（演示）ⅢⅣⅠⅡⅤⅥⅦⅧ三个坐标平面八个卦限点的坐标（演示）∙两点间的距离点M到原点的距离[例1]在轴上求一点，使它到点和的距离相等。轴上，故设点的坐标为由两点间距离公式得由题意知解：因所求点在空间曲面三元方程如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，同时不满足方程F(x,y,z)=0的点都不在曲面S上，则称三元方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程。S平面平面——一种特殊曲面平面方程的一般形式：O几种特殊平
3、面（三元一次方程）平行于z轴的平面：过z轴的平面：过原点的平面：平行于y轴的平面：过y轴的平面：平行于x轴的平面：过x轴的平面：平面：平面：平面：二次曲面椭球面（几何演示）抛物面（几何演示）球面（几何演示）柱面平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面，其中，直线L叫做母线，曲线C叫做准线。如：平行于Z轴的直线沿着XOY平面内的椭圆移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面。其它柱面（几何演示）柱面方程的特点：如果方程中不含变量Z（X或Y)，则母线平行于Z(X或Y)轴，柱面垂直于XOY(YOZ或XO
4、Z)面。xyoz其方程为二元函数的概念、平面点集平面上满足某个条件的所有点构成的集合称为平面点集。[例1]平面上满足的所有点构成平面点集，记作[例2]平面上满足的所有点构成的平面点集，记作邻域：平面点集称为点P0(x0,y0)的δ邻域，记做U(P0，δ)开集：如果点集E中的点都是内点，则称点集E为开集。连通集：如果点集E中的任意两点，都可以用完全属于E中的折线段将它们连接起来，则称E为连通集。区域：连通的开集称为开区域，简称区域。闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。二元函数的概念几个概念：开集、
5、连通集、区域、闭区域。例如：点集即为一开集。例如：点集即为区域。例如：点集即为闭区域。连通不连通二元函数的概念定义：设D是平面上的非空点集，如果存在一个对应法则f，使得对集合D中的每一个点(x,y)，按法则f，都有唯一确定的实数值z与之对应，则称此对应法则f为集合D上的二元函数，记为：f：(x,y)z或z=f(x,y)，(x,y)D称x,y为函数f的自变量，z为函数f的因变量；集合D为函数f的定义域，记作D(f)或Df。Î称实数集为函数f的值域。约定：函数z=f(x,y)的定义域约定为使得式子有意
6、义的所有的实数对（x,y）。例如：函数的定义域为它表示如右图所示的无界区域。二元函数的图像空间点集称为函数的图像。它表示空间曲面。一元函数与二元函数的比较一元函数二元函数定义域数轴上的区间平面中的区域图像平面中的曲线空间中的曲面极限单极限二重极限微分学导数与微分偏导数与全微分积分学定积分二重积分[例3]二元函数其定义域为值域[例4]已知二元函数[例6]作二元函数的图形。解：因为所以整理得此方程表示以点（0，1，0）为球心，以1为半径的球面。的图形是球面的上半部。因此，函数※二元函数定义域的求法[例
7、7]求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须满足即函数的定义域是平面上上直线下方的无界区域。[例8]求函数解：要使函数有意义，必须满足的定义域。函数的定义域是抛物线的内部（含边界）与圆的内部的公共部分。[例9]求函数的定义域。有定义，必须解：要使二元函数的极限定义：设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的邻域内有定义（点P0可以除外），如果当点P(x,y)无论以何种方式趋向于点P0(x0,y0)时，函数值f(x,y)可以无限逼近常数A，则称A为函数f(x,y)在P→P0时的极限，记作或或
8、——二重极限∙xyz二元函数的极限计算——计算下列极限二元函数的极限计算∙换元时与不能相互制约×事实上，设则结果与有关，故原极限不存在。证明：不存在。证明：要证明不存在，即要证当沿不同的路径趋向（0，0）时，趋向于不同的值。因为当沿直线趋向于（0，0）时结果与有关，故原极限不存在。若则称函数在点处连续。若函数在某区域上点点连续，则称函数在该区域上连续。直观上来看，若函数在区域D上连续，则其对应的空间曲面没有裂缝，没有洞，是一个连续曲面。初等二元函数在其定义区域上都是连续的。例如：在
