函数极限连续重要概念公式定理

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1、一、函数、极限、连续重要概念公式定理(一)数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列｛xn｝，如果存在常数A，对任给e>0，存在正整数/V，使当n〉N时，恒有a;,-A

2、<£，则称A是数列｛xt)｝的当//趋于无穷时的极限，或称数列｛xn｝收敛于A，记为Ymxtl=A：^W一4的｛xn｝的极限不存在，则称数列｛x」发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列收敛，即limx,,=/!,则极限是唯一的.W—>00(2)有界性：若则数列有界，即存在似〉0,使得对Vn均有似.⑶局部保号性：设limxtl=A^A>0(或A<0)，则存在正整数N，刍n〉N时，有〉0(或<0).

3、打一>00(4)若数列收敛于A，则它的任何子列也收敛于极限A.(二)函数极限的定义名称表达式任给存在当...时恒有当。时，乂(A)以A为极限Iim/(x)=/4f>0J>()0<

4、x-.v0

5、<^f(x)~A<£当时，/(.v)以A为极限Iim/(x)=4f>0X>0H>x

6、/(.v)-4

7、<£«当X4七40时，/(.V)以A为右极限\mf(x)=A^/7k,+o)^>0S>0x00xo-^0X>0x>X当X+c时，/(

8、X)以A为极限lim/(x)=A勿7(叫£>0X>0x<-X

9、,(小4

10、<£(三)函数极限存在判别法(了解记忆｝1.海涅定理：limf(x)=A<^>对任意一串xn4x0(x"?%，n=l二…)，都有limf(xtl)=A.2•充要条件：(I)limf(x)=A<=>lim/(x)=lim/(x)=A;(2)limf(x)=A<=>limf(x)=limf(x)=A.A—>«>x—>+ooX—>-oo3.柯西准则：limf(x)=A<^>对任意给定的£〉0，存在5〉0，当0<

11、x,-a^

12、<^,O<

13、x2-XO

14、/(x,)-/(x2)

15、<£.4.夹逼准则:若存在〉0

16、，当0

17、lim字=1，则称aU)与#(x)是等价的无穷小量，记为a(x)~p(x).P(x)(5)若=f(c•关0)，々〉0,则称汉⑴是/?(又)的々阶尤穷小量PW(命题重点，历年必考),121-COSXX2(l+x)a—是实常数)2.常用的等价无穷小量当％40时，sinxarcsinxtanx>**x,arctanxln(l+x)ex-l(五)重要定理(必记内容，理解掌握)定理1limf(x)=A^>/_(x0)=f^x0)=A.定理2lim/(x)=f(x)=A+tzU)，其中lima(x)=0.定理3(保号定理)：设lim/(x)=A，乂A〉0(成A<0)，则3—个5〉0,当xe

18、(x0+xoX—>.l0.V—>x0定理6无穷小量的性质：⑴有限个无勿小量的代数和为无穷小&(2)冇限个无穷小量的乘积为无穷小量；(3)无穷小虽乘以冇界变虽为无穷小虽.定理7在同一变化趋势E无勿人蛍的倒数为无勿小虽;非零的无穷小虽的倒数为无穷人虽.定理8极限的运算法则：设lim/(x)=A，lin^(x)=B

19、，则(1)lim(/(x)土g(x))=A±8(2)hmf(x)g(x)=AB(3)lim^^=-(B^O)gMB定理9数列的极限存在，则其了•序列的极限一定存在凡就等于该数列的极限.定理10初等函数在K定义域的区间内连续.定理11设/(X)连续，则

20、/G^

21、也连续.(六)重要公式(車.点记忆内容，应考必备)x->0X丄1(2)lim(l+xr=ejim(l+-r=e.(通过变量替换，这两个公式可写成更加一般的形式：设.V—>0"⑶lim+A0，n