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《函数、极限、连续重要概念公式定理.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一、函数、极限、连续重要概念公式定理（一）数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列xn,如果存在常数A,对任给0,存在正整数N,使当nN时,恒有xnA,则称A是数列xn的当n趋于无穷时的极限,或称数列xn收敛于A,记为limxnA.若nxn的极限不存在,则称数列xn发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：若数列xn收敛,即limxnA,则极限是唯一的．n(2)有界性：若limxnA,则数列xn有界,即存在M0,使得对n均有xnM.
2、n(3)局部保号性：设limxnA,且A0或A0,则存在正整数N,当nN时,有xn0或xn0.n(4)若数列收敛于A,则它的任何子列也收敛于极限A.（二）函数极限的定义名称表达式任给存在当⋯时恒有当xx0时,fx以limfxA000xx0fxAxx0A为极限当x时,fx以limfxA0X0xXfxAxA为极限当xx0时,fxlimfxA0xx000x0xx0fxA以A为右极限deffx00当xx0时,fxlimfxA0xx000x0xx0fxA以A为左极限deffx00当x时,fxlimfxAx0X0xXfxA以A为极限deff当x时
3、,fx以limfxAx0X0xXfxAA为极限deff（三）函数极限存在判别法(了解记忆)1．海涅定理：limfxA对任意一串xnx0xnx0,n1,2,,都有limfxnA．xx0n2.充要条件：(1)limf(x)AlimfxlimfxA;xx0xx0xx0(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3.柯西准则：limfxA对任意给定的0,存在0,当xx00x1x0,0x2x0时,有fx1fx2.4.夹逼准则：若存在
4、0,当0xx0时,有（x)f(x)(x),且lim(x)lim(x)A,则xx0xx0limf(x)A.xx05.单调有界准则：若对于任意两个充分大的x1,x2,x1x2,有fx1fx2(或fx1fx2),且存在常数M,使fxM(或fxM),则limfx存在.x（四）无穷小量的比较(重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设lim(x)0,lim(x)0.(x)(1)若lim0,则称(x)是比（x)高阶的无穷小量.(x)(x)(2)若lim,则(x)是比（x)低阶的无穷小量.(x)(x)(3)若limc(c0),则称(x)与（x)是同阶无穷小
5、量.(x)(x)(4)若lim1,则称(x)与（x)是等价的无穷小量,记为(x)(x).(x)(x)(5)若limc(c0),k0,则称(x)是（x)的k阶无穷小量k(x)2.常用的等价无穷小量(命题重点,历年必考)当x0时,sinxarcsinx12tanx1coxs~x~x,2arctanx(1x)1~x是实常数ln(1x)xe1（五）重要定理(必记内容,理解掌握)定理1limf(x)Af(x0)f(x0)A.xx0定理2limf(x)Af(x)Aa(x),其中lima(x)0.xx0xx0定理3(保号定理)：设limf(x)A,
6、又A0(或A0),则一个0,当xx0x(x0,x0),且xx0时，f(x)0(或f(x)0).定理4单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.定理5(夹逼定理)：设在x0的领域内,恒有（x)f(x)(x),且lim(x)lim(x)A,则limf(x)A．xx0xx0xx02⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯定理6无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．定
7、理7在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．定理8极限的运算法则：设limfxA,limgxB,则(1)lim(f(x)g(x))AB(2)limf(x)g(x)ABf(x)A(3)lim(B0)g(x)B定理9数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．定理10初等函数在其定义域的区间内连续．定理11设fx连续,则fx也连续．（六）重要公式(重点记忆内容,应考必备)sinx(1)lim1x0x1x1n(2)lim(1x)e,lim(1)e.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般
8、的形式：设x0nn1sinfxfxlimfx0,且fx0则有lim1,lim1fxe)fx0,nmnn1a0xa1xan1xana0(3)lim,nm．xmm1b0xb1xbm1xbmb0,nm(4)函数fx在xx0处连
