高三数学《任意角的弧度制及任意角的三角函数》学案

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1、江苏省常州市西夏墅中学高三数学《任意角的弧度制及任意角的三角函数》学案一、学习目标1、了解任意角的概念；2、了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3、理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、知识回顾1、任意角（1）角概念的推广①按旋转方向不同分为；②按终边位置不同分为。（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成。（3）象限角及其集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合注：终边在x轴上的角的集合为;终边在y轴上的角的集合为;终边在坐标轴上的角的集合为。2、弧度制（1）1弧度的角叫做1弧度的角，用符号表示。（2）角α

2、的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为,那么角α的弧度数的绝对值是

3、α

4、=。（3）角度与弧度的换算①10=rad;②1rad=0.（4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为，圆心角大小为α(rad)，半径为r。又=,则扇形的面积为S=。3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么叫做α的正弦，记作叫做α的余弦，记作叫做α的正切，记作各象限符号ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；

5、y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。一、课前热身1、已知数集A={x

6、x=4kπ，k∈Z}，B={x

7、x=2kπ，k∈z}，C={x

8、x=kπ，k∈z}，D={x

9、x=kπ，k∈z}，则A、B、C、D四个数集的包含关系是__________2、已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对圆心角的弧度数为_________3、点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_________4、已知扇形的周长为10，面积为4，则其中心角的弧度

10、数为___________5、已知扇形周长为40，则其最大面积为__________6、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点距离d(cm)表示成t(s)的函数，d=_________，其中t∈[0，60]。一、典例分析例1：已知α是第二象限的角，分别确定2α，的终边所在位置。例2：已知一扇形的中心角度是α，所在圆的半径为R。（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积。（2）若扇形的周长是定值C，当α为多少弧度时，该扇形面积最大。例3：已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负

11、半轴重合。（1）若角α的终边上有一点P（t，-2t）（t≠0），求α的终边所在象限。（2）已知角α终边上一点P（-，y）（y≠0），且sinα=y，求cosα，tanα。二、练习反馈1、若α是第三象限角，则π-是第_________象限角。2、已知集合M={x

12、x=，k∈Z}，N={x

13、x=，k∈Z}，则M______N。（填写，，，，=，≠）3、若点A（x，y）是300°终边上异于原点的一点，则的值为__________4、终边落在直线y=±x上的角的集合是__________5、一个扇形的面积为4cm2，周长是8cm，则扇形的圆心角等于___________6、若sin(co

14、sθ)·cos(sinθ)>0，则θ是第______象限角。一、课堂小结二、课后巩固(一）达标演练1．根据角α终边所在的位置，写角α的集合，第二象限_________，在y轴上_______，第二象限角平分线_________，第一、第三象限角平分线___________.2．设一圆弧所对的圆心角为α弧度，半径为r，则弧长l=__________.这扇形面积S=_________.3．已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m≠0），则的值是___________.4．若角α终边在直线5．α在第二象限，则在第________象限，2α在第_________象限.6．适合条件____

15、_______7．角α的终边过点P（－4k，3k），（k<0），则的值是8．若的终边所在象限是。（二）能力突破9．设计一段宽30m的公路弯道（如图），其中心线为，且公路外沿弧为长20πm，则这段公路的占地面积为_____________.10．扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为___________.11．已知的取值范围.12．化简（三）拓展练习13.已知的值.一、学习反思