高二数学充分条件 必要条件与命题的四种形式知识精讲 人教实验版(b)

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1、高二数学充分条件必要条件与命题的四种形式知识精讲一.本周教学内容：1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式二.教学目的1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，弄清命题的条件和结论的联系，从而正确的判定其充分性、必要性和充要性。2、会分析四种命题之间的相互关系，根据原命题写出其它三种形式的命题。三.教学重点、难点1、重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的定义，会分析四种命题之间的关系。2、难点：对充分条件、必要条件与充要条件的判定，正确的写出原命题的否命题。四.知识分析（一）推出与充分条件、必要条件1、命题的条件与结论：在数学中，我们经常碰到“如果（若）p，则（那么）q”形式的命题，

2、其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。例如，命题“如果，那么”，其中“”是命题的条件，“”是命题的结论；再比如“平行于同一条直线的两条直线平行”，它的条件是什么呢？我们可以把它写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，条件就是“两条直线平行于同一条直线”，结论就是“这两条直线平行”。2、推出与充分条件、必要条件：（1）当命题“如果p，则q”经过推理断定是真命题，那么我们就说由p可以推出q，记作。（2）如果，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件。所以下面几种说法：“如果p，则q”、“”、“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”表达的是同一个逻辑关系。下面我们看几个例子

3、：①如果那么；②在，那么；③若成等差数列，那么。由于上述命题都是真命题，所以“是”，“是”，“成等差数列是”的充分条件，而“是”，“是”，“是成等差数列”的必要条件。（3）充要条件：如果，且，则称是的充分且必要条件，简称是的充要条件，记作。注意：①显然也是的充要条件；②是的充要条件，又常说成当且仅当，或与等价。例如，在命题“如果那么”中，，反之，，所以，也就是说是的充要条件。3、在判定命题的条件时，有时还涉及到充分不必要条件、必要不充分条件，下面给出它的概念：（1）若，但推不出，则称是的充分不必要条件；（2）若，但推不出，则称是的必要不充分条件。例如命题：若，那么中，，但是推不出成立，因

4、为还有可能，所以是的充分不必要条件。4、从集合的角度去理解充分条件、必要条件和充要条件：设集合（1）若，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充要条件。例如：若，则。因为，所以是的充分条件，而是的必要条件。（二）命题的四种形式：1、定义：原命题：如果p，则q，逆命题：如果q，则p，（条件和结论换位，“换位”）否命题：如果，则（分别否定条件和结论，“换质”）逆否命题：如果，则（条件和结论换位后再分别否定，“换位又换质”）例如命题“如果，则”，我们把它当作原命题，那么它的逆命题就是“如果，那么”，否命题是“如果，那么”，逆否命题是“如果，那么”。2、

5、四种命题的关系图3、四种命题的真假关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真（2）原命题为真，它的否命题不一定为真（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等效的，若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。【典型例题】例1.把下列命题写成“如果，则”的形式，并判断其真假（1）实数的平方是非负数；（2）等底等高的两个三角形全等。解析：（1）原命题可以写成“如果一个数是实数，则它的平方是非负数”，是真命题；（2）原命题可以写成“如果两个三角形等底等高，则两个三角形全等”，假命题。点评：把一个命题改写成“如果，

6、则”的形式，对判断充分或必要条件及写命题的四种形式是很重要的，改写时一定要抓住命题主要的思想内容，分清哪是条件，哪是结论。例2.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。（1）偶函数的图像关于y轴对称；（2）方程有实根。解析：（1）先把命题改写成“如果函数是偶函数，则图像关于轴对称”，逆命题：如果图像关于轴对称，则函数是偶函数；否命题：如果函数不是偶函数，则图像不关于轴对称；逆否命题：如果图像不关于轴对称，则函数不是偶函数。（2）先把命题改成“如果，则方程有根”，逆命题：如果方程有根，则；否命题：如果不是任意实数，则方程无根；逆否命题：如果方程无根，则不是任意实数。点评：为了便于写出各种形

7、式的命题，现将命题改写成“如果，则”的形式。例3.如果向量与向量都是非零向量，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：，故选（C）点评：此题根据向量的有关知识，结合充分、必要条件的定义来进行判断。例4.判断命题“如果则有实根”的逆否命题的真假。解析：解法一、原命题的逆否命题为“如果无实根，那么”，因为无实根，所以，即，所以原命题的逆否命题为真；解法二、因为所以，方程有实根，所