高二数学导数的应用知识精讲 人教实验版(b)

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1、高二数学导数的应用知识精讲一.本周教学内容：3.3导数的应用二.教学目的1、掌握用导数判断函数的单调区间的一般方法2、掌握用导数求函数的极值(最值)的一般方法三.教学重点、难点重点：用导数判断函数的单调区间和极值(最值)难点：利用导数解决实际问题中的最优化问题四.知识分析（一）利用导数研究函数的单调性1、利用导数判断函数的单调性的基本方法设函数在区间内可导，那么在区间内(1)如果恒有，则函数在区间内为增函数；(2)如果恒有，则函数在区间内为减函数；(3)如果恒有，则函数在区间内为常数函数．2、利用导数判断函数的单调

2、区间的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求函数的导数；(3)在函数的定义域内解不等式或；(4)确定函数的单调区间．注意以下几点：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调性及单调区间；(2)不能随意将函数的两个各自独立的单调区间写成并集形式；(3)利用导数解决含有参数的单调性问题时，一般将问题化成不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；(4)函数在某个区间上单调递增和导数在该区间大于零并不是等

3、价的，严格来讲，“导数大于零”是“单调递增”的充分非必要条件，函数在某个区间上单调递增可能存在某个点的导数为零，例如函数在整个定义域R上是单调递增的，但它在处的导数为零．（二）利用导数来研究函数的极值和最值：1、利用导数来研究函数的极值：(1)极值的概念：如果函数在点的函数值比它在附近的函数值都小，那么叫作函数的极小值，点叫作函数的极小值点；如果函数在点的函数值比它在附近的函数值都大，那么叫作函数的极大值，点叫作函数的极大值点．(2)判断方法：①求函数的导数；②求方程的所有实根；③检验在每个根左右两侧的符号，如果在

4、某个根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在某个根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值；如果在某个根的左侧、右侧附近符号相同，那么函数在这个根处没有极值．注意：函数在点处的导数为零，既不是为极值的充分条件，也不是必要条件．如果是可导函数，那么是的必要条件，然后我们用上述第③条来判断；但对于在处不可导的情况并不适用，我们可依据定义来判断．如函数在处是不可导的，但是它的极小值点．2、利用导数求函数的最值：函数在闭区间上的图像是一条连续的曲线，则函数在上一定能够取得最大值

5、与最小值．(1)求函数在闭区间上的最值的步骤：①求函数在区间内的极值；②将函数的各极值点处的函数值与端点处的函数值和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)注意以下两点：①求函数的最值与极值不同，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论是极大值还是极小值，只需将导数为0的点的函数值和端点处的函数值进行比较即可；②有时可利用函数的单调性来求在闭区间上的最值，如果在上单调递增，那么的最大值为，最小值为；如果在上单调递减，那么的最大值为，最小值为．3、导数在解决实际应用题中的运用在实际问题中，常常

6、会碰到最优化的问题，导数是解决这类问题的方法之一，利用导数可以求实际问题中的最大值和最小值的问题．具体方法如下：①建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量的函数关系；②求函数的导数，解方程求出极值点；③比较函数在区间端点和极值点处的取值的大小，确定其最大值(或最小值)．注意：在实际问题中要考虑变量的实际意义，弄清变量的取值范围，然后在此范围内来求它的最大或最小值．【典型例题】（一）利用导数求函数的单调区间：例1.求导数y＝x4－2x2＋8的单调区间．解析：函数的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝4x3－4x，令

7、f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1，x3＝－1．用x1，x2，x3分割定义域，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)↘↗↘↗∴f(x)的单调增区间为(－1，0)和(1，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－∞，－1)和(0，1)．点评：也可解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0．若不等式是一元一次或一元二次的可直接解出；若是一元三次或三次以上的不等式可采用同解变形的方法转化成不等式组求解，也可直接采用穿根法求解．例2

8、.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解析：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1．当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，－1)上为增函