高二数学导数 导数的运算知识精讲 人教实验版(b)

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1、高二数学导数导数的运算知识精讲一.本周教学内容：3.1导数3.2导数的运算二.教学目的1、了解平均变化率的的概念，掌握函数平均变化率的求法；了解瞬时速度、瞬时变化率（导数）的定义，掌握瞬时速度、瞬时变化率的求法；掌握函数在某一点处导数的几何意义，弄清函数在某一点处的导数与导函数的区别与联系。2、记住基本初等函数的求导公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，会运用运算法则和求导公式求一些函数的导数。三.教学重点、难点重点：平均变化率及瞬时变化率的求法，导数的几何意义、运用导数的运算法则和求导公式来求一些函数的导数。难点：导数的定义、几何意义的理解，求函数的瞬时变

2、化率。四.知识分析（一）平均变化率和瞬时变化率：1、平均变化率：函数在及附近有定义，令，当时，比值，叫做函数在到之间的平均变化率。关于平均变化率要注意以下几点：①函数在处有定义；②是附近的任意一点，即，但可正可负；③改变量的对应：若，则，而不是；④平均变化率可正可负也可为0；⑤平均变化率对曲线的影响：平均变化率的绝对值越大，曲线“越陡”，即递增或递减的幅度越大。2、瞬时变化率：（1）瞬时速度：设物体运动路程与时间的关系是，从到这段时间内，物体的平均速度是，当趋近于0时，函数的平均变化率趋近于一个常数，这个常数就叫做时刻的瞬时变化率（或瞬时速度）。（2）瞬时变化率（导

3、数）：函数在及附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点的瞬时变化率，记作：当时，，还可以表示为函数在点的瞬时变化率，通常就定义为在处的导数，并记作：或于是可写作：关于导数的概念，要注意以下两点：①“”的意义：与0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，但始终；②当时，存在一个常数与无限接近。3、函数的导数：如果函数在内每一点都是可导的，从而对开区间内的每一个的值，都有唯一的函数值与对应，因此开区间内，构成一个新函数，此新函数称为导函数，通常简称导数，记作或，注意：函数的导函数与在点的导

4、数是不同的，函数在点的导数对应于唯一一个函数值，而导函数仍然是关于的一个函数。（二）导数的几何意义：1、切线的定义：曲线的割线AB的斜率是函数在处的平均变化率，当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，当点B与A重合时，得到曲线在点A处的切线，即我们用割线的极限位置上的直线来定义切线。2、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点P(x0，y0）处的切线斜率．（三）基本初等函数的导数公式表：1、几个常用的函数的导数；①；②；③；④2、基本初等函数的导数公式表（见课本P92的图表）（四）导数的四则运算：设与在区间都是可导的，那么①；特别地，该公式可推广

5、为②，特别地③，特别地，注意：我们应该熟练的掌握基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，这样我们可以求得许多初等函数的导数。【典型例题】（一）用定义求函数的平均变化率和瞬时变化率：例1.已知函数的图像上一点及邻近一点，则等于（）解析：所以，因此选B点评：利用平均变化率的定义直接求解例2.某质点P运动时，位移s与时间t的函数关系为，求质点P（1）在时的平均速度；（2）在时刻t时运动的瞬时速度；（3）在时刻t时运动的加速度解析：(1)、即时的平均速度为5（2）故即质点P在时刻t的瞬时速度为（3）加速度是速度的变化率所以，故即质点P在时刻t的加速度为4。点评：首先明确速

6、度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，然后用平均变化率和瞬时变化率的定义加以解决。（二）利用初等函数的导数表和导数的运算法则求导数例3.求下列函数的导数（1）解析：（3）因为所以点评：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，先化简再求导，可减少运算量．例4.求下列函数的导数解析：点评：要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到解决问题的目的．例5.已知，求解析：用换元法可求得所以点评：本题中求的是，注意观察题中所给条件，应将log2x换元，先求出的解析式，再求导。（三）利用导数求曲线的切线（斜率）：

7、例6.已知是曲线上的两点，求与直线平行的曲线的切线方程。解析：，因为直线的斜率为，又切线平行于，所以，故切点为所以切线方程为，即点评：注意将解析几何与导数综合起来解决问题。例7.求曲线在点处的切线方程。解析：因为，所以，故切线的斜率为因此所求的切线方程为，即点评：熟记基本初等函数的导数及导数的几何意义是解决切线问题的关键。例8.已知曲线，问曲线上哪一点的切线与直线垂直，并写出过这一点的切线方程。解析：，由已知可令，解得，将代入，得所以曲线在点处的切线方程为，即点评：掌握导数的几何意义和两直线垂直的条件是解决此题的关键所在。（四）利用导数的几何意义求曲线中的参数值