高三数学理导数（三）人教实验版（A）知识精讲

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1、高三数学理导数（三）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：导数（三）（理）二.重点、难点：1.基本积分表（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.运算公式（1）（2）（3）3.【典型例题】[例1]求下列定积分（1）（2）∵∴[例2]，为何值时，M最小。解：∴时，[例3]曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。解：设切点，则切线：过P（）∴∴A（0，1）∵∴∴B（）∴[例4]设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。（1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线（把）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。.解：（1

2、）设，则又已知∴∴又方程有两个相等实根∴判别式，即故（2）依题意，有所求面积（3）依题意，有∴，∴，于是[例5]已知（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在这样的a的值，使得恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值。（1）（i）当故当（ii）当恒成立故当上单调递减（2）即使时恒成立.由（1）可知当时不可能恒成立，由（1）可知即可故存在这样的a的值，使得[例6]已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。（1）由题意得：∴在上；在上；在上在此在处取得极小值∴①②③由①②③联立得：∴（

3、2）设切点Q过令，求得：，方程有三个根。需：故：因此所求实数的求职范围为：[例7]设函数的图象过点A（2，2），（1）求的解析式；（2）求的极大值与极小值；（3）若对任意的，总存在相应的，使得成立，试求实数的取值范围。解：（1）由已知得（2）由（1）知（3）由题意，即在区间①则①式即为[例8]设函数，其中。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明不等式：；（Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，且，，解得……2分当变化时，的变化情况如下表：-0+↘极小值↗由上表可知,当时，，函数在内单调递减当时，，函数在内单调递增所以,函数的单调减区间是,函数的单调

4、增区间是（Ⅱ）设。对求导，得：。当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。当时，，即同理可证＜x。（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得:即:1＜(a+1)，，即。[例9]已知函数（a为实数）（I）若在处有极值，求a的值；（II）若在上是增函数，求a的取值范围。解：（I）由已知得的定义域为又由题意得（II）依题意得对恒成立，的最大值为的最小值为又因时符合题意为所求[例10]设函数（I）求函数的极值点；（II）当的取值范围；（III）证明：解：（I），当是无极值点。当的变化情况如下表：x+0—↑极大值↓从上表可以看出：当（II）当，此极大值也是最大值，要使，（III）令由（II）

5、知，，，，∴结论成立。[例11]上为增函数在[0，2]上减函数，又方程有三个根为。（Ⅰ）求（Ⅱ）比较；（Ⅲ）求的范围。解：（1）＝为增函数，（0，2）为减函数（2）（3）【模拟试题】1.计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）。2.计算下列定积分；（1）；（2）；（3）。3.计算曲线与直线所围图形的面积。4.计算由曲线，直线以及两坐标轴所围成的面积S（如图所示）。5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。（1）求的表达式；（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。6.已知函数。（1）求函数在区间上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的

6、图像在函数的图像的下方；（3）设，求证：。7.设函数（1）若，证明：函数有两个不同的极值点，并且；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围。8.已知函数是在上处可导的函数，若在上恒成立。（1）求证：函数在上是增函数；（2）当，时，证明：；（3）已知不等式在且时恒成立，求证：。9.设函数（1）求函数的单调区间，并求函数的极大值；（2）当时，恒有成立，求的取值范围。【试题答案】1.解：（1）（2）（3）（4）2.解：（1）原式（2）原式（3）原式3.解：由解得及从而所求图形的面积4.解：由得或∵，其中∴5.解答：（1）设，则，由已知，所以，所以又方程有两个相等的实根所以，即所以

7、（2）依题意知：所以所以即，于是6.解：（1）∵，当时，∴在区间上为增函数∴，（2）证明：令则当时，∴在区间上为减函数又函数在处连续，且∴，即在区间上，函数的图像在函数的图像的下方（3）证法1：∵当时，不等式成立当时∴7.解：（1）当时，∵∴方程有两个不等的实根根不妨设，则当时，；当时，；当时，。∴是的极大值点，是的极小值点并且因此，函数有两个不同的极值点，并且（当且仅当时取等号）（2）当时，①若，则在上为增函数，在上为减函数，在为增函数在上的最大值为与中的较大者，而，由在上恒成立，得，即②若，则在上为增函数在上的最大值为∵∴