高中数学选修本(理科)导数的综合应用

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1、导数的综合应用【课　　题】导数的综合应用【教学目标】1．进一步深化导数在解决几何、函数、不等式等问题中的综合应用，加强导数的应用意识；2．利用导数解决实际生活中的一些问题，如用料最省、利润最大、效率最高等最值问题，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力，并加深对导数本质的进一步理解．导数的广泛应用，为我们研究函数和解决一些实际问题提供了有力的工具，用导数解决函数中的最值问题、不等式问题，或与解析几何、立体几何、概率等其他知识相联系，在这些知识、方法网络的交汇点上设计综合问题一直

2、是高考考查的热点和今后命题的趋势．【教学过程】一、例题解析：例1（2004·天津卷）已知函数在处取得极值．（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．解（1），依题意，，即解得．∴．令，得．若，则，故在和上是增函数．若，则，故在上是减函数．所以，是极大值；是极小值．（2）曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，则点M的坐标满足．因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．说明本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和

3、求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力，具有一定的综合性．利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入，是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可以加深对函数单调性与其导数关系的理解．本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x=±1所确定的相等关系式，运用待定系数法求值．本题的难点是在求导之后，不会应用f′

4、(±1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．例2（2004·浙江理科卷)设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t，e-t)处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t)．(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值．解（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即．（Ⅱ）令y=0得x=t+1，又令x=0得，所以S（t）==，从而∵当（0，1）时，>0，当（1，+∞）时，<0，所以S(t)的最大值为S(1)=．说明高考常结合函数图象的切线及其几何图形的面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进

5、行考查．例3（2005·湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0．（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．解（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解．又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解．①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛

6、物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0，且方程ax2+2x－1=0至少有一正根．此时，－1

7、为时，，所以在）上单调递增．故则．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．证法二：变形得因为，所以令，得②令因为，所以时，故在[1，+上单调递增．从而，即于是在[1，+上单调递增．故即这与②矛盾，假设不成立．故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．说明本题融导数和解析几何于一体，考查导数的应用及解析几何等有关知识，以及数形结合、分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．在解几题中以导数作为解题的入口，考查导数的几何意义—---切线的斜率、导数的应

8、用——处理函数的单调性、极值等，这样综合性较强，符合在“知识的交汇点命题”的高考命题原则．二、课后练习：1．（2004·湖南卷）已知函数其中a≤0，e为自然对数的底数．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0，1]上的最大值．解(Ⅰ)（）当a=0时，令=0，得x=0．若x>0，则>0，从而f(x)在(0，+∞)上单调递增；若x<0，则<0，从而f(x)在(－∞，0)上单调递减．(当a<0时，令=0，得x(ax+2)=0，故x=0或若x<0，则<0