2019-2020年高中数学选修本(理科)导数的概念(III)

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1、2019-2020年高中数学选修本(理科)导数的概念(III)教学目的：1.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2.理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数.3.理解函数在一点处可导，则函数在这点连续教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于

2、点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.4.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt

3、无限趋近于0.当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度二、讲解新课：1.导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映

4、的函数在点处变化的快慢程度它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为(5)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关(6)在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成(7)若极限不存在，则称函数在点处不可导(8)若在可导，则曲线在点（）有切线存在反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线2.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成

5、了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝所以函数在处的导数也记作注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值3.可导:如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导4.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必

6、要条件，而不是充分条件.从f(x)在x0处可导的定义可以知道，f(x)在x0处有定义，考察f(x)在x0处是否有极限，并且是否等于f(x0).已知f′(x0)=令x=x0+Δx，当Δx→0时，x→x0∴f(x)=f(x0+Δx)=［f(x0+Δx)－f(x0)+f(x0)］=［·Δx+f(x0)］=·Δx+f(x0)=f′(x0)·0+f(x0)=f(x0)∴f(x)在x0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y=

7、x

8、=在x0=0处∵y=(－x)=0，y=x=0，∴y=0∴y=

9、x

10、在x=0处连续.=∴y=

11、x

12、在x0=0处

13、不可导.5.求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数＝三、讲解范例：例1求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx∴=(2+Δx)=2.∴y′

14、x=1=2.注意：(Δx)2括号别忘了写.例2已知y=，求y′.分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x0换成x.解：Δy=，∴.点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极

15、限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.例3已知y=x3－2x+1，求y′，y′

16、x=2.解：Δy=(x+Δx)3－2(x+Δx)+1－(x3－2x+1)=x3+3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3－2x－2Δx+1－x3+2x－1=(Δx)3+3x(Δx)2