2019-2020年高中数学选修本(理科)导数的概念--曲线的切线

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1、2019-2020年高中数学选修本(理科)导数的概念--曲线的切线教学目的：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：  导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还

2、能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学.所

3、以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流教学过程：一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线2.确定曲线c在点处的切线斜

4、率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=∴切线的斜率为2.切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.例2求曲线f(x)=x

5、3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k=∴切线的方程为y－4=5(x－1)，即y=5x－1例3求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.解：∵tanα=∵α∈［0，π，∴α=π.∴切线的倾斜角为π.例4求曲线y=sinx在点()处的切线方程.解：k=∴切线方程是，即例5y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=∴3x02=3，x0=±1∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)四、课堂练习：1．已知曲线y=2x2上一点A(

6、1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－22.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、小结：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程六、课后作业：1.求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－+2,　x＝２处　（２）y＝，x＝０处．答案：(1)k=

7、－１２，（２）k=－１七、板书设计（略）八、课后记：