初三数学正弦、余弦和正切知识精讲 湘教版

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1、初三数学正弦、余弦和正切知识精讲一.本周教学内容：正弦、余弦和正切［教学目标］（一）知识与技能1.了解一个锐角的正弦、余弦、正切的概念，能够正确地应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形两边之比。2.熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，会计算含有这三个特殊锐角的直角三角形的边长，会由一个特殊锐角的正弦值、余弦值、正切值说出这个角。3.了解一个锐角的正弦值与它余角的余弦值之间的关系。4.会用计算器计算锐角的正弦值和余弦值。（二）过程与方法：经历探索锐角的正弦值、余弦值与正切值的过程，在探索中总结规律，体验学习的乐趣。（三）情感态度与价值观体验数学活动充满着探

2、索性和创造性，增强学习自信心。［教学重点］1.正弦、余弦、正切的定义。2.特殊角30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值。3.互余角之间的正弦值、余弦值之间的关系。［教学难点］1.锐角的正弦值、余弦值、正切值的计算。2.综合运用正弦、余弦、正切的关系求直角三角形的边。［主要内容］1.正弦、余弦、正切的定义：（1）如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。（2）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦。（3）在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切。当锐角A确定后，这些比值都是固定值。2.特殊角30°、45°、60°的正弦

3、值、余弦值、正切值。如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°设BC＝k，则AB＝2k用同样的方法可求45°、60°角的三角函数值。3.互为余角的正弦、余弦之间的关系：∴sinA＝cosB语言表达：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4.同角的三角函数之间的关系：5.0°～90°间正弦值、余弦值、正切值的变化规律：在0°～90°间的角：正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）。6.会用计算器求锐角的正弦值、余弦值、正切值。【典型例题】

4、例1.已知△ABC中，AC＝7，BC＝24，AB＝25，求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB分析：根据正弦、余弦、正切的定义知，应首先判断△ABC是直角三角形。解：∵AC＝7，BC＝24，AB＝25∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°由互余角的关系得：例2.分析：可用引进参数法，也可利用同角的正弦、余弦关系求解。法一：如图解：由勾股定理得：AC＝12k法二：解：又∠A为锐角，cosA＞0变式训练：边c的长。提示：可引进参数法。例3.计算：分析：略解：例4.分析：把条件式看作关于sinα的一元二次方程，利用解方程求出sinα，再确定α的值。解：［练习］求

5、适合条件的锐角：答案：（1）30°（2）30°（3）70°（4）30°例5.如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝6。（1）求sinA，sinB的值。（2）过点C作CD⊥AB于D，求cos∠ACD的值。分析：（1）利用正弦定义来解决。∠ACD转化为∠B则非常简便。解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝6（2）∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°又CD⊥AB于D，∴∠ACD＋∠A＝90°∴∠B＝∠ACD例6.分析：根据条件知：△ABC不是直角三角形，应添加辅助线，构造直角三角形。解：过C点作CD⊥AB于D，设CD＝x在Rt△ACD中，∠A＝

6、30°∴BD＝3xx＝1模拟试题（答题时间：50分钟）一、填空题：1.求值：___________。2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，b＝2，则cosA＝___________。3.tan10°·tan20°·tan30°·tan70°·tan80°＝___________。4.△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝___________。5.＝___________。6.＝___________。7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠A＝___________。8.已知等腰三角形ABC的腰长为，底角为30°，则底边上的高为___________，周长为__

7、_________。二、选择题：9.在△ABC中，若，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A.75°B.90°C.105°D.120°10.当锐角A＞45°时，sinA的值（）A.小于B.大于C.小于D.大于11.已知，则＝（）A.30°B.60°C.45°D.无法确定12.下列结论中不正确的是（）A.B.中，∠C＝90°，则C.Rt△ABC中，∠C＝90°，则D.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，则13.如图CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后照射到B点，若入射角（入射角等于反射角）