半角地正弦、余弦和正切

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1、实用标准文案半角的正弦、余弦和正切（课堂教学实录）广西防城港市上思县上思中学[教者]王春雷[点评]凌旭球（中学特级教师）一、教学目标1、掌握半角公式及推导方法。2、理解公式的结构特点和内在联系，能根据已知条件确定公式中的符号。3、能熟练、合理地运用公式。二、重点、难点分析1、重点：，，公式的推导、识记及熟练运用。2、难点：，公式中双重符号的选择、三个公式的灵活运用。三、教学用具、准备电脑和投影设备，自制电脑课件。四、教学过程设计（一）复习引入师：前面我们已经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现在让我们一起回忆一下：（师生合

2、作回答，然后用投影显示）评：从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。下面，我们一起来看一道习题：，求和的值。（投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？生：能，用二倍角公式。师：那好，下面我们就一起来完成这道题：文档实用标准文案（生集体回答，师板书）评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含着准备将新知转化为旧知去研究的作用。师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不需要考虑值的符号；但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这时就需要考虑函数值的符号了。现在，我们

3、再来看另一道习题，已知：，求的值。（投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？评：用这道习题作引子，并用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带着任务学。生：不能。师：但如果我们把看成上题的角，那角就变成了上题的什么角？生：角。师：所以，的值是……（稍作停顿）生：。师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的角换成角，把公式中的角换成角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式”。（师板书课题）评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是一种好方法，它可激发学生探求新知的欲望与热情。（二）新课讲授1、公式推导师：下

4、面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式”。先探讨如何将公式变形得出与角的三角函数关系。生：由，从中解出。师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出，能否用更简洁的方法来求解呢？生：可以利用得出，从而师：（板书）对，但公式中“±”号的确定是关键，是不是两个都要呢？生：（稍作讨论后回答）不是，应根据角所在的范围中正弦的符号来选取。师：具体的说，就是角在第一、二象限时取……（稍作停顿）生：“+”号。文档实用标准文案师：当角在第三、四象限时取……（稍作停顿）生：“-”号。师：如果没有指明角的范围呢？生：“±”号都要。评：

5、师生合作导出“半角正弦”公式，在教师的“主导”下，让学生积极主动地探索，依靠学生自己的思维去获取知识，也顺利地解决了“±”号的确定这一关键性问题。师：很好。下面我们接着来研究角的余弦。生：利用得出，从而。师：（板书）这里又出现了“±”号，请大家参照刚才的方法总结一下。生：当角在第一、四象限时取“+”，在第二、三象限时取“-”；如果没有指明角的范围时，“±”号两个都要。评：有了“半角正弦”的推导作样板，“半角余弦”的导出自然水到渠成。师：不错。我们现在已导出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函数关系式，你能马上得出半角的

6、正切公式吗？生：能。由商数关系得：评：点拔恰当，在此使学生感受到“联想”的作用。师：（板书）由于分子、分母都有“±”号，能否把“±”号约掉？生：不能。师：那么又如何理解结果中的“±”号呢？生：是分子、分母的“±”号搭配的结果——当分子、分母同号时取“+”，分子、分母异号时取“-”。师：由这一搭配的结果，你能根据角所在的范围说出如何选取正切符号吗？生：能。当角在第一、三象限时取“+”，在第二、四象限时取“-”；当没有指明角的取值范围时，应该同时取“±”号。师：此外，还有没有其它方法来处理这双重符号呢？（生困惑，议论）评：问题提

7、得好，将学生自然引导到对“半角正切”公式的深层探讨上。师：我们能不能利用乘除符号性质来判断与是同号还是异号呢？生：能，是同号。文档实用标准文案师：那么与呢？生：也是同号。师：根据这种思路，下面我们进一步来研究的公式，使它变得更简单，更便于使用。由于，将的分子、分母同时乘以2或2，使变成，那么会得到什么结果呢？生：或（师板书）2、公式识记师：至此，我们已经把本节课要学习的“半角公式”全部推导出来了。下面，我们一起来探讨对这组公式的初步理解与记忆。（投影显示公式）⑴（）。⑵（）⑶（）⑷⑸（）’师：首先明确公式成立的条件，即角的取

8、值范围，先看⑴、⑵。生：公式⑴、⑵的条件是。师：再看公式⑶、⑷。生：对于公式⑶、⑷，需满足左、右两式均有意义，即：，且，所以。师：那么公式⑸的条件呢？文档实用标准文案生：，且，即：，且，所以，。师：公式⑷、⑸都是从式子推出的，为什么成立的条件不相同呢？生：（稍作议论后回答）因为同乘以2时，