九年级数学正弦和余弦人教版知识精讲

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1、初三数学正弦和余弦人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：正弦和余弦二.重点、难点：1.正弦和余弦的概念。2.正弦、余弦之间的关系。【典型例题】例1.填空题。（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，则sinA＝_________，cosA＝_________；sinB＝_________，cosB＝_________。cosB＝_________。（3）如上题图，若AC：BC＝1：2，则sinB＝_________。（5）sin30°＝_______，cos45°＝_______，sin60°＝_______。（6）比较下列各组值的大小。①sin

2、15°_________sin20°；②cos40°_________cos50°；③cos32°_________sin58°；④sin10°_________cos10°。（7）sin210°＋cos210°＝_________，sin220°＋sin270°＝_________。解：（1）此题主要考察对正弦、余弦概念的理解。因此运用勾股定理求出斜边AB是此题的关键。（3）由AC：BC＝1：2，则可设AC＝x，BC＝2x（5）对于特殊角的正、余弦值，同学们一定要熟记。（6）本题主要是考察正弦、余弦在锐角范围内的变化规律，在∠A为锐角时，sinA随∠A增大而增大

3、，cosA随∠A增大而减小，因此：①sin15°＜sin20°②cos40°＞cos50°而对于③、④我们可以由互余角的正弦、余弦关系可以统一成正弦，或余弦再进行比较，故：③cos32°＝sin58°④sin10°＜cos10°（7）由正弦、余弦定义可知，∠A为锐角时，sin2A＋cos2A＝1，且0

4、习，同学们应掌握以下几点：1.正弦、余弦的概念；2.正弦、余弦之间的关系：3.∠A为锐角时，正弦、余弦的增减性。例2.如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D点，若BD＝6，CD＝2，求sinB，sinC。分析：从图中可知，∠B可以看作是Rt△ABC或Rt△ABD的锐角，因此要求sinB，我们可以在这两个三角形中来寻找条件，显然运用射影定理的结论，在两个三角形中都比较容易求。解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，故由射影定理可得：又∵BD＝6，CD＝2，BC＝BD＋CD＝8在Rt△ABC中，［小结］运用定义来求锐角的正弦、余弦，往往需求出所

5、需的边长，这就要运用勾股定理或相似三角形的性质来求出所需的边长。例3.分析：从已知条件可知△ABC不是直角三角形，而BC也不能直接求出。但结合∠B＝30°，∠C＝45°，我们可以过A点作高，然后构造两个直角三角形，通过这两个直角三角形的公共边AD，我们可以找到AB、AC的关系，结合已知，可求BD、CD。解：过点A作AD⊥BC于D在Rt△ABD中，同理在Rt△ADC中，例4.已知：如图，△ABC中，AC＝2，BC＝4，AB＝3。（1）求sinB；（2）过C作CD⊥BA于D，求CD的长。（1）分析：△ABC不是Rt△，且∠B的度数也不知，因此要求sinB只能根据正弦的

6、定义构造Rt△来解决。显然过A作BC的高线较为简单。因为在题目中可知BC>AB>AC，则∠A最大，因此过A作BC的高一定在△ABC内部，而如果过C作AB边上的高，则AB边上的高在△ABC内部或是外部取决于∠A是锐角、直角或钝角。解：过A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝∠AEC＝90°在Rt△ABE和Rt△ACE中，由勾股定理可得：设BE＝x，则CE＝4－x，故可列方程：在Rt△ABE中，由AE2＝AB2－BE2得：（2）分析：CD的求法比较多，由于22＋32＜42，因此可知∠BAC＞90°，故D点在BA的延长线上，我们可以依照上面求高AE的方法。由BC2－BD2＝A

7、C2－AD2＝CD2，求得AD，进一步求得CD。另一方面由于AE、CD是三角形的高，故我们还可运用面积相等而得到式子AE·BC＝AB·CD，从而求出CD；第三种方法，我们可以由解：∵CD⊥BA∴∠CDB＝90°［小结］（1）在△ABC中，c为最长边；（2）知三角形三边，求三角形的高或面积。（3）利用角来转移比值关系。例5.解：例6.求sin15°的值：设△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，求sinB的值。解：作AB的中垂线DE，垂足为D，交BC于E，连结AE（如图）∵ED是AB的中垂线∴BE＝AE∴∠B＝∠DAE又∵∠AEC＝∠B＋∠DAE∴∠AEC＝2∠B＝

8、30°在R