正弦、余弦定理习题精选精讲

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1、正、余弦定理的五大命题热点知识点：1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：①，，；②，，；③；④．3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．6、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；②若，则；③若，则．正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平

2、分线、中线)及周长等基本问题．1、中，，BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．2、在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．3、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=a，则A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定4、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=（A）（B）（C）（D）5、在中，a=15,b=10,A=60°，则=A－BC－D-7-6、在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。7、在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=1

3、0,AC=14,DC=6，求AB的长.8、在锐角中，则的值等于，的取值范围为.9、△中，所对的边分别为，,.（1）求；（2）若,求.二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1、在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形2、18.若△的三个内角满足，则△（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1、在中，若，，，则的面积S＝_

4、________四、求值问题1、在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．2、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=_________。3、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1ABCD（一.）测量问题1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=

5、120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC30°15°图22、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？-7-图3ABC北45°15°（三.）追击问题3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如

6、与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇．1、△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）设，求a＋c的值.易错题解析例题1　在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。错解：∵。则，由于cosA在（0°，180°）上为减函数且又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。正解：由上面的解法，可得A＜90°。又∵a为最大边，∴A

7、＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。例题2　在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。错解：由正弦定理，得即。∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。辨析：由，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。正解：同上得，∴2A＝或。∵或。故△ABC为等腰三角形或直角三角形。例题3　在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。错解：∵A＝60°，b＝1，，又，-7-∴，解得c＝4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。∴。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由

8、已知可得。由正弦定理，得。。例题4　在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得，又∵∴。