高考数学专题复习（精选精讲）练习3-正弦定理习题精选精讲.pdf

《高考数学专题复习（精选精讲）练习3-正弦定理习题精选精讲.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1(2005年全国高考江苏卷)ABC中，A，BC＝3，则ABC的周长为（）3A．43sinB3B．43sinB3C．6s

2、inB3D．6sinB33636分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．3bcbcbc解：由正弦定理得：，sinBsinCsinBsinC2sinsinBsin(B)332得b＋c＝23[sinB＋sin(－B)]＝6sin(B)．故三角形的周长为：3＋b＋c＝6sinB3，故选(D)．366评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为33＋3，故排除(A

3、)、(B)、(C)．而选(D)．6466例2(2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知AB,cosB，AC边上的中线BD=5，求sinA的值．36分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．126解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DEAB，设BE＝x23222在ΔBDE中利用余弦定理可得：BDBEED2BEEDcosBED，2826675x2x，解得x1，x（舍去）33632222822130故BC=2，从而AC

4、ABBC2ABBCcosB，即AC又sinB，3362212370故，sinAsinA30146二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3(2005年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，

5、得A＝B．故选(B)．222sinCcacb解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．2sinA2a2ac222acbc22∴＝，即a＝b，得a＝b，故选(B)．2ac2a评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．例4(2005年全国高考上海卷)在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积S＝______

6、___1分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB•ACsinA即可解决．22222ABACBC25AC491解：由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．2ABAC10AC211531132∴S＝AB•ACsinA＝．∴AB•AC•sinA＝AC•h，得h＝AB•sinA＝，故选(A)．24222四、求值问题例5(2005年全国高考天津卷)在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，222c1设a、b、c满足条件bcbca和3，求A和

7、tanB的值．b2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．222bca1解：由余弦定理cosA，因此，A602bc2在△ABC中，∠C=180－∠A－∠B=120－∠B.1csinCsin(120B)由已知条件，应用正弦定理32bsinBsinBsin120cosBcos120sinB311cotB,解得cotB2,从而tanB.sinB222五、正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测

8、量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，C测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。ACAB解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，又∵sinCBAsinACBADB11SABACsinCABABCD，解得CD=60m。图1ABC22