高考数学专题复习（精选精讲）练习7-球习题精选精讲.pdf

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1、球面距离的计算经典范例1．位于同一纬度线上两点的球面距离　　例1已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离．　　分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离．　　解作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴平面．　　∴与为纬度，为二面角的平面角．　　∴（经度差）．△中，．　　△中，由余弦定理，．　　△中，由余弦定理：，　　∴．　　∴的球

2、面距离约为．2．位于同一经线上两点的球面距离例2求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3）　　解经过两地的大圆就是已知经线．，．3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4）　　解设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，．△中，由纬度为知，　　∴，．△中，，　　∴，　　∴．　　注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式．（为经度差）．　　△中，．　　∴．　

3、　∴的球面距离约为．球面距离公式的推导及应用球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α=-30º，南纬40º

4、为纬度β=-40º），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α，纬度β），两标定点，清晰直观。设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π，π]，β1、β2∈[-，]，如图，22设过地球O的球面上A处的经线与赤道交于C点，过B的经线与赤道交于D点。设地球半径为R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ=α1-α2。另外，以O为原点，以OC所在直线为X轴，地轴所在直线ON为Z轴建立坐标系O-XYZ（如图）。则A（Rcosβ1,0,Rsinβ

5、1）,B(Rcosβ2cos（α1-α2）,Rcosβ2sin（α1-α2）,Rsinβ2)cos∠AOB=cos〈OA，OB〉=cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2∠AOB=arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]其中反余弦的单位为弧度。于是由弧长公式，得地球上两点球面距离公式：AB=R·arcos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2]（I）上述公式推导中只需写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得

6、出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只需两点的经纬度即可。公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有：1、β1=β2=β，则球面距离公式为：AB=R·arcos[cos2βcos（α1-α2）+sin2β]（II）2、α1-α2=α，则球面距离公式为：AB=R·arcos（cosβ1cosβ2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2）（II

7、I）例1、设地球半径为R，地球上A、B两点都在北纬45º的纬线上，A、B两点的球面距离是R，A在东经20º，求B点的位置。3分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II）得：R=R·arcos[cos245ºcos（20º-α2）+sin245º]311cos=cos（20º-α2）+322∴cos（20º-α2）=0,20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º所以B点在北纬45º，东经110º或西经70º球1．一个球的内接正方体（正方体的顶点都在球面上）的表面积为6，则球的体积为_

8、_______．由已知得正方体棱长为1，因球的直径等于正方体的对角线长，所以直径2r3，∴3．球体积r2343433Vπrππ．33222．在赤道上，东径140°与西径130°的海面上有两点A、B，A、B的球面距离是________（设地球半径为R）．π　．设球心为O，∵A、B在赤道这个大圆上，∴∠AOB＝（180°－140°）+（180°－130°）＝9