高考数学专题复习（精选精讲）练习7-立体几何(理)习题精选精讲.pdf

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1、应用法向量解决有关立体几何问题前面我们学习了用向量解决立体几何的有关问题，可以看出，用向量求两条异面直线所成的角，证明两条直线平行、垂直等问题时，有不可比拟的优越性，但在求异面直线间的距离，平行平面间的距离，直线与平面所成的角，二面角等问题时却显得捉襟见肘，故而我们引入法向量来解决此类问题。所谓法向量，指与向量或平面垂直的的向量。即：若na，则n叫a的法向量若n，则n叫的法向量一、用法向量求异面直线间的距离bE如图，a、b为异面直线，E、F为异面直线上任意的两点，n为a、b的公共法向量，则a、b间nEFnF的距离为danz例1、如图

2、，已知ABCD是正方形，PD面ABCD，PyDCABxPD=AB=1，E、E分别是PB、PD中点，求异面直线AF与CE间的距离。1111解析：如图建立空间直角坐标系，则：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E(,,)，F(0,0,)22221111AE(,,)，CF(0,1,)，又设AE，CF的公垂线的方向向量为n(x,y,z)，则：2222111nAExyz0222x3y令y1n(3y,y,2y)(3,1,2)1z2xnCFyz02nEF11114AE与CF间

3、的距离d(3,1,2)(,,0)n14227二、用法向量求点到直线的距离如图，E为面α外任意的一点，F为α内任意一点，n为的法向量，则，E到平面的距离EnEFn为dnFα例2、如图，ABCD为边长为4的正方形，GC⊥平面ABCD，GC=2，E、F分别是AD、ABz的中点，求点P到平面EFG的距离.解析：如图建立空间直角坐标系，则：A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（4，G2，0），F（2，4，0），G（0，0，2）。xDCnEF（x,y,z)(2,2,0)0A设平面EFG的一个法向量为n=（x,y,z），则

4、：EnGF(x,y,z)(2,4,2)0AFByAxyz3ynBF令y11211n(y,y,3y)(1,1,3)点B到平面EFG的距离d(1,1,3)(2,0,0)n1111（直线与平面的距离及平面与平面间的距离类同与点到平面的距离，请读者自己验证，这里不再赘述）三、用法向量求直线与平面所成的角如图，直线EF交平面α于F，n为的一个法向量，则直线EF与平面α所成的角为En，EFn2Fα例3、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB6,AA11,AD3，E、F分别是AB，C1D1的中点，求：

5、（1）、A1B1与面A1EF所成的角。（2）、BC1到面A1EF的距离。z解：如图建立空间直角坐标系，则，A（3，0，0），C（0，6，0），B（3，6，0），C166（0，6，0），D1（0，0，1），A1（3，0，1），E（3，，0），F（0，，1）。22y（1）、设平面A1EF的一个法向量为n=（x,y,z），则：nEF（x,y,z)(3,0,1)0x6nAE(x,y,z)(0,,1)012令x10123n(x,2x,3x)(1,2,3)，故cosn,A1B1，因此，A1B1与面A1EF所成的角为6633

6、arccos。23用向量法研究立体几何问题1.1、用传统方法解决立体几何问题与用向量法解决立体几何问题之比较用传统方法解决立体几何问题，通常都必须添加辅助线，并且要经过各种手段进行转化，它具有较大的灵活性，学生掌握起来比较困难。空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空

7、间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。下面举例说明：例如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的中点.D1(I)求AE与D1F所成的角C1(II)证明面AED⊥面A1FD1A1B1解:(I)取AB中点G,连结AG,FG.1ED因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,C又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,ＨF故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.AＧB设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△

8、A1AG≌