高考数学专题复习（精选精讲）练习3-数列通项公式习题精选精讲.pdf

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1、数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：149162121234（1）9，99，999，9999，…（2）1,2,3,4,（3）1,,,,（4）,,,,2510173252345n解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：a101n2n2n1n（2）an;（3）a;（4）a(1).点评：关键是找出各项与项数n的关系。n2nnn1n1n1二、公式法例2：已知数列{an}是公差为d的等

2、差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，2b3(q2)∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=

3、4·(－2)n－12b1q例1.等差数列a是递减数列，且aaa=48，aaa=12，则数列的通项公式是（）n234234(A)an2n12(B)an2n4(C)an2n12(D)an2n10(a3d)a3(a3d)48解析：设等差数列的公差位d，由已知，3a123a34解得，又an是递减数列，∴d2，a18，∴an8(n1)(2)2n10，故选(D)。d2例2.已知等比数列a的首项a1，公比0q1，设数列b的通项为ba

4、a，求数列b的通项公式。n1nnn1n2n解析：由题意，baa，又a是等比数列，公比为qn1n2n3nbaan1n2n32n1n∴q，故数列b是等比数列，baaaqaqq(q1)，∴bq(q1)qq(q1)n12311nbaann1n2点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知anan12n1,∵a2a13,

5、a3a25,a4a37,……anan12n1,2各式相加得ana1357(2n1)∴ann5(nN)点评：一般地，对于型如aaf(n)类的通项公式，只要f(1)f(2)f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。n1n例4.若在数列a中，a3，aan，求通项a。n1n1nn解析：由aan得aan，所以aan1，aan2，…，aa1，n1nn1nnn1n1n221n(n1)将以上各式相加得：ana1(n1)(n2)

6、1，又a13所以an=32四、叠乘法例4：在数列｛an｝中，a1=1,(n+1)·an1=n·an，求an的表达式。an1nana2a3a4an123n11a1解：由(n+1)·an1=n·an得，=··…=所以nann1a1a1a2a3an1234nnn1例4.已知数列a中，a，前n项和S与a的关系是Sn(2n1)a，试求通项公式a。n1nnnnn3an2n3解析：首先由Sn(2n1)a易求的递推公式：(2n1)a(2n3)a,nnnn1a2n1n1

7、an12n5a21将上面n—1个等式相乘得：a2n1a5n21an(2n3)(2n5)(2n7)313a(2n1)(2n1)(2n3)75(2n1)(2n1)11a.n(2n1(2n1)点评：一般地，对于型如a=f(n)·an类的通项公式，当f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。n1五、Sn法利用anSnSn1(n≥2)32例5：已知下列两数列{an}的前n项和sn的公式，求{an}的通项公式。（1）Snnn1。（2）snn

8、1332解：（1）aS111a=SS=(nn1)(n1)(n1)1=3n3n211nnn12此时，a2S。∴a=3n3n2为所求数列的通项公式。11n22（2）as0，当n2时ass(n1)[(n1)1]2n111nnn10(n1)由于a1不适合于此等式。∴a