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《数列通项公式习题精选精讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列通项公式的求法几种常见的数列的通项公式的求法一．观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。二、公式法例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f
2、(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1例1.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）(A)(B)(C)(D)解析：设等差数列的公差位d，由已知，解得，又是递减数列
3、，∴，，∴，故选(D)。例2.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。解析：由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，，∴点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、 叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。解易知∵……各式相加得∴点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解。例4.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=四、
4、叠乘法例5：在数列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表达式。解：由(n+1)·=n·得，=··…=所以例4.已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式。解析：首先由易求的递推公式：将上面n—1个等式相乘得：点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。五、Sn法利用(≥2)例6：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。（2）解：（1）===3此时，。∴=3为所求数列的通项公式。（2），当时由于不适合于此等式。∴点评：要先分n=1和两种情况分别进行
5、运算，然后验证能否统一。六、待定系数法：例7：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解：设例8.已知数列中，，，其中b是与n无关的常数，且。求出用n和b表示的an的关系式。解析：递推公式一定可表示为的形式。由待定系数法知：故数列是首项为，公比为的等比数列，故点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、ｃ为常数），若数列为等比数列，则，。七、辅助数列法例9：已知数的递推关
6、系为，且求通项。解：∵∴令则辅助数列是公比为2的等比数列∴即∴例10在数列中，，，，求。解析：在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得==…===例11：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。解：∵∴，设，则故｛｝是以为首项，1为公差的等差数列∴∴点评：这种方法类似于换元法,主要用于已知递推关系式求通项公式。利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由得：时，，，所
7、以各式相加得即：.为了书写方便，也可用横式来写：时，，=.例1.（2003天津文）已知数列｛an｝满足,证明证明：由已知得：=.例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.答案：例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于
8、n的分式函数，累加后可裂项求和。例4.已知数列中,且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,,则此题也可以用数学归纳法来求解.2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.由得时，，=f(n)f(n-1).例1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________.解：已知等式可化为：()(n+1),即时，==
