数列通项公式经典例题精析

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1、经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公1．在数列中，，，求.解析：∵，当，　　　　　，　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　将上面个式子相加得到：　　　　　　　　　　∴（），　　　　　当时，符合上式　　　　　故.　　总结升华：　　1.在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.　　2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.　　举一反三：　　【变式1】已知数列，，，求.　　【答案】　　【变式2】数列中，，求通项公式.　　【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式　　2．设是首项为1的

2、正项数列，且，求它的通项公式.　　解析：由题意　　　　　∴　　　　　∵，∴，　　　　　∴，　　　　　　∴，又，　　　　　∴当时，，　　　　　当时，符合上式　　　　　∴.　　总结升华：　　1.在数列中，，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.　　2．若数列有形如的解析关系，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.　　举一反三：　　【变式1】在数列中，，，求.　　【答案】　　【变式2】已知数列中，，，求通项公式.　　【答案】由得，∴，　　　　　　∴，　　　　　　∴当时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当时，符合上式

3、　　　　　　∴类型三：倒数法求通项公式　　3．数列中，,，求.　　思路点拨：对两边同除以得即可.　　解析：∵，∴两边同除以得，　　　　　∴成等差数列，公差为d=5，首项，　　　　　∴，　　　　　∴.　　总结升华：　　1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.　　2．若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.　　举一反三：　　【变式1】数列中，，，求.　　【答案】　　【变式2】数列中，,，求.　　【答案】.类型四：待定系数

4、法求通项公式　　4．已知数列中，，，求.　　法一：设，解得　　　　　即原式化为　　　　　设，则数列为等比数列，且　　　　　∴　　法二：∵　①　　　　　　②　　　　　由①－②得：　　　　　设，则数列为等比数列　　　　　∴　　　　　∴　　　　　∴　　法三：，，，……，　　　　　，　　　　　∴　　总结升华：　　1．一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.　　2．若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.　　举一反

5、三：　　【变式1】已知数列中，，求　　【答案】令，则，　　　　　　∴，即　　　　　　∴，　　　　　　∴为等比数列，且首项为，公比，　　　　　　∴，　　　　　　故.　　【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.　　【答案】∵，∴　　　　　　设，则，即，　　　　　　∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，　　　　　　∴，∴.　　　　　∴.类型五：和的递推关系的应用　　5．已知数列中，是它的前n项和，并且,.　　(1)设,求证：数列是等比数列；　　(2)设，求证：数列是等差数列；　　(3)求数列的通项公式及前n项和.　　解析：　　（1）因为，所以　　　　以上两式

6、等号两边分别相减，得　　　　　　　　　即，变形得　　　　因为，所以　　　　由此可知，数列是公比为2的等比数列.　　　　由,,　　　　所以,所以,　　　　所以.　　（2），所以　　　　　　将代入得　　　　由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项，　　　　故.　　（3），所以　　　　　当n≥2时，　　　　∴　　　　由于也适合此公式，　　　　故所求的前n项和公式是.　　总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成

7、能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.　　举一反三：　　【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.　　（1）求证：数列是等比数列；　　（2）设数列的公比为，作数列，使，，求的通项公式.　　【答案】　　（1），　　　　∴　　　　∴，　　　　又　　　　①－②　　　　∴，　　　　∴是一个首项为1公比为的等比数列；　　（2）　　　　∴　　　　∴是一个首项为1公比为的等差比数列　　　　∴　　【变式2】若,　()，求.　　【答案】当n≥2时，将代入,　　　　　　∴,　　　　　　整理得　　　　　　两边同除以得（常数）　　　　　　∴是以为首项，公差d=2的等差数列，

8、