专题二：求数列通项公式例题

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1、{求数列的通项公式数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．题型一：叠加法、累乘法。形如：或【例1】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；(2)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.【变式1】根据下列各个数列{}的首项和基本关系式，求其通项公式．(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；(2)a1＝2，an＋1＝an＋ln.（3）a1＝1，

2、an＝n(an＋1－an)(n∈N*)F8=.KL’;题型二：　已知Sn,,求通项an=【例2-1】已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.【例2-2】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．【变式2-1】数列的前n项和=an+b,(a0,且a1),则数列成等比数列，则b=___【变式2-2】已知数列{an}的前n项和公式Sn=n2＋2n＋5，则a6＋a7＋a8=()9题型三：已知an与Sn的混合关系，利用（1）消去Sn转化为的

3、an纯粹关系【例3-1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.【例3-2】已知数列满足条件Sn=3＋2an，求数列的通项公式【例3-3】数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.【变式3-1】已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为________．【变式3-2】已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式【变式3-3】已知数列{

4、an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an＝(　　)A．2nB.n(n＋1)C．2n－1D．2n－19（2）消去an转化为Sn的纯粹关系【例3-4】数列中，a1=1，Sn为数列{}的前n项和，n≥2时=3Sn，则Sn=。【变式3-4】已知数列的前n项和为,且,又,又a1=，求证:是等差数列　【变式3-5】数列的前n项和为,已知a1=１，an+1＝，求证:是等比数列题型四：辅助数列1、形如：为等比数列，即【例4-1】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{a

5、n}的通项公式【变式4-1】已知数列{an}满足，求数列{an}的通项公式2、倒数型：形如或【例4-2】已知在数列{an}中a1＝1，an＋1＝，求数列的通项公式9【变式4-2】已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式。3.形如：an+1＝pan＋qn＋1【例4-3】已知在数列{an}中,a1＝1，且an+1＝2an＋2n＋1（1）证明：为等差数列（2）求数列的通项公式4.形如：【例4-4】数列中，，（1）证明为等比数列（2）求数列的通项公式例1：（1）an＝.（2）an＝n2＋变式1：（1）an＝（2）an＝l

6、nn＋2（3）an＝n例2-1：（1）an＝2·3n－1.（2）an＝变式2：（1）b=–1（2）45例3：（1）an＝3·21－n.（2）an＝－3·2n－1（3）变式3-1：（1）（2）{1,2,3,4}例3-4：Sn=变式3-4：例4-1：（1）an＝2·3n－1－1变式4-1：例4-2：an＝变式4-2：例4-3：an＝(2n－1)·2n－1.例4-4：an=9例1：[审题视点](1)可转化后利用累乘法求解．(2)可利用累加法求解．解　(1)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1

7、.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝.(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋.已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．变式

8、1：解　(1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2，an－2＝an－3＋3n－3，…a2＝a1＋31，以上(n－1)个式子相加得an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.(2)∵an＋1＝an＋ln，∴an＋1－an＝ln＝ln，∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，…a2－a1＝ln，以上(n－1)个