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《数列求通项公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考递推数列题型分类归纳解析类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。17经检验也适合，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例2:已知，，求。解：。变式:（2004，全国I,理15．）已知
2、数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用17换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）变式:已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列
3、即 （II）证法一： ① ②②－①，得即17 ③－④，得 即 是等差数列证法二：同证法一，得 令得设下面用数学归纳法证明 （1）当时，等式成立（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立根据（1）和（2），可知对任何都成立是等差数列（III）证明：变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．17类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以变式:设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项
4、；（Ⅱ）设，，证明：解：（I）当时，；当时，，即，利用（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：(Ⅱ)将代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<17类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决
5、定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数——迭加法）:数列：，，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得17。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即17又，所以。变式:已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列（I）证明：是以为首项，2为公比的等比
6、数列（II）解：由（I）得 （III）证明： ① ②②－①，得即 ③ ④④－③，得即17是等差数列类型6递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a
7、12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=
