人教版高三数学不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用

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1、高三数学不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用一.本周教学内容：不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用。考点分析：不等式是中学数学的基础和重要部分，是高等数学的重要工具，是近几年高考考查的重点内容，近几年有关不等式的试题，一般是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式（特别是含参数的不等式），有关不等式的综合问题是高考考查的重点内容，估计在以后的高考中，将更加突出对不等式的灵活性、综合性、应用性的考查。基本知识说明：证明不等式常用比较法。分析法和综合法其中基本不等式：“a，b>0时，”更常用，其他方法如放缩法、换元法等可根据不等

2、式特点灵活选用不等式的解法重点在会解，一元二次不等式指对不等式、无理不等式，而分式不等式和高次不等式也必须掌握其解法，不等式的应用较为广泛，如求定义域、值域（特别是求最值），判断函数的单调性，列不等式解应用题等，应注意应用函数的思想和数形结合的思想。【例题分析】例1.本题主要考查用比较法证明不等式。分析一：两端都是多项式，可用作差证法。证法一：小结：配方技巧的实现关键在于合理分项。分析二：由左端向右端转化，需消去a、b、c，且右端是乘积的和，故可用“a2＋b2≥2ab”。证法二：小结：寻异求同是证明不等式的基本思路。例2.本题主要考查不等式证明

3、的综合法、放缩法。分析：左边含a1、a2，右边不含a1、a2，故由左向右证明，需消去a1、a2，而a1＋a2＝1可达到此目的。证法一：证法二：小结：原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1＋a2是变形的目标。例3.（2001年天津高考题理科）本题主要考查分式不等式的解法，划归思想及分类讨论思想。分析：解：小结：解各种不等式的基本思路是应用合适的性质把原不等式转化为整式不等式，再经因式分解，用零点划分区间法求解，还应注意对不等式中字母进行分类讨论。例4.（2000年全国高考题）本题考查无理不等式的解法、函数的单调性等基本知识，

4、分类讨论的数学思想方法和运算，推理能力。分析：解：小结：本题要求掌握函数单调性的定义。在解含参数的不等式时常用到分类讨论的思想，分类的原则是把参数所取值的集合I分成若干个非空真子集A1，A2，A3，……，An（n≥2），使满足：，至于按什么标准划分类别，要看解题的需要。例5.如图，函数y＝f(x)的图象为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)>f(－x)＋x。分析：f(x)的表达式是什么？f(－x)呢？表达式从图象上获得。解法一：由图象可得函数的表达式为：小结：题目已经给出了函数的图象，从对图象的观察中，我们获得图象关于原点对称，f(x)为奇

5、函数，由于这一性质的发现，挖掘了数形结合的优美解。解法二：例6.解法一：解法二：解法三：说明：解法一将求a的最小值转换成求函数三者之间的隐含关系，从而转化为三角函数的最小值问题；解法三运用了分析法，分析法是证明恒等式与不等式的一种重要方法，它从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”。例7.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该

6、杂质的质量分数最小？（A、B孔的面积忽略不计）解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。小结：本题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。【模拟试题】1.已知且，那么下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.2.不等式的解集是，则的值为（）A.10B.C.14D.3.已知，那么（）A.B.C.D.

7、4.点在直线上移动，则的最小值是（）A.8B.6C.D.5.不等式的解集是____________6.若实数且，则的最小值为___________7.若方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为________8.当时，函数的最大值为________9.已知且。（1）求证：（2）试确定m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立。10.已知数列中，前n项和为，前n项积为，比较与的大小。[参考答案]http://www.DearEDU.com1.C提示：用不等式性质。2.D提示：3.D4.D5.6.解：由（）7.解：由题意得8.解：9

8、.（1）证明：10.用数学归纳法。