高三数学 不等式的概念和性质、有理不等式的解法、指数不等式、对数不等式的解法、绝对值和无理不等式的解法 知识精讲

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1、高三数学不等式的概念和性质、有理不等式的解法、指数不等式、对数不等式的解法、绝对值和无理不等式的解法知识精讲一.不等式的概念和性质1.不等式有关概念不等式：用不等号连接的式子叫做不等式。分类：条件不等式、矛盾不等式与绝对不等式。2.不等式的基本性质（1）（2）（3）；（4）（5）（6）3.实数的大小理论对于任意两个实数，（1）（2）（3）4.重点难点不等式的性质是本节的重点内容，它是解不等式和证明不等式的理论依据。因此，我们必须掌握不等式的基本性质，注意它们成立的条件。（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减，不等号方向与被减不等式同向。（2）正数的同

2、向不等式可以相乘，正数的异向不等式可以相除，取被除不等式的方向。5.综合运用不等式的性质应用非常广泛，其主要应用：（1）根据条件和性质判别不等式是否成立；（2）利用实数大小性质比较两个代数式的大小；（3）利用不等式的性质求范围。二.有理不等式的解法1.一元一次不等式任何一元一次不等式变形后一定可化为的形式，其解有下面几种情况：（1）若；（2）若；120010期版权所有不得复制（3）若；（4）若2.一元二次不等式任何一元二次不等式变形后，一定可化为（或<0）其中，其解集随的符号而定，结合的图像，可得到它们的解集。（如下表）若是的两根，且。图像120010期版

3、权所有不得复制3.高次不等式（）高次不等式的解法的主要方法是区间讨论法与数轴标根法，其步骤：（1）的最高次数项的系数化为正数；（2）然后将分解为若干个一次因式和非负的二次三项式的乘积，即形式；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（4）根据曲线呈现的的值符号变化规律，写出不等式的解集。如设，则形如：不等式的解集（如图1）120010期版权所有不得复制图14.分式不等式（1）；（2）；（3）；（4）。即处理分式不等式的基本思路是通过上面的同解变形方法把分式不等式转化为一元二次不等式或高次不等式进行求解。三.绝对值和无理不等式的解

4、法1.绝对值不等式解绝对值不等式的思路是去绝对值的符号，去绝对值符号的方法有：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有：（1）（2）（3）（4）2.无理不等式解无理不等式的基本思路是去根号转化为有理不等式，其中去根号的方法有平方法，在去根号时要特别注意：注意函数图像法120010期版权所有不得复制（1）保证不等式两边解析式有意义；（2）不等式的两边要非负；（3）当两边符号不能确定时应讨论同解定理。（a）（b）另法：图像法、换元法四.指数、对数不等式的解法1.指数不等式一般运用指数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解（1）（2）（3）令2.对数不等式对数不

5、等式一般运用对数函数的单调性转化为有理不等式（组）求解，但要特别注意对数函数的定义域。（1）当时，当时，（2）当当120010期版权所有不得复制例1.（2002全国，3）不等式的解集是（）A.B.C.D.解析：方法一：（1）时，原不等式化为：（2）时，原不等式化为：综上，不等式的解集为方法二：原不等式化为：或（1）解得（2）解得说明：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。例2.（1993全国理，29）已知关于x的实系数二次方程有两个实数根，证明（I）如果，那么（II）如果，那么解：方法一，依题设，二次方程有两个实根，所以判别式不

6、妨取（I），由此得（II）又方法二：（I）韦达定理因为二次函数，开口向上120010期版权所有不得复制即（II）由即由此可知：的两根或者在区间（-2，2）内，或者在（-2，2）之外，若两根均落在（-2，2）外，则与若（-2，2）外，则由于另一个根必落在（-2，2）内，则（1）（2）矛盾综上所述：均落在（-2，2）内，说明：本题考查一元二次方程根与系数的关系根分布的条件，证明不等式的方法，考查逻辑思维能力及综合应用能力。例1.设，试求的取值范围。解析：解法1：因为，而，又中的a，b不是独立的，而相互制约的，因此若将用来表示，则问题可以解决，不妨令：，，故又，

7、故的取值范围为解法2：由题意可知又故的取值范围为说明：此题最容易产生错解，而错误的原因不太明显，如单解出a、b的范围然后再求的范围，看似每步合理，实则扩大了取值范围，同学们可从其几何意义上理解。例2.（2000·全国）设函数，其中，试解不等式解析：由题可知，由（1）若时，原不等式等价下列不等式组：120010期版权所有不得复制故此时不等式的解为（2）若时，原不等式等价下列不等式组故此时不等式的解为；（3）若时，原不等式可化为故此不等式的解为综上可知原不等式的解为（1）若（2）若方法二：利用数形结合设设所研究的问题为直线位于双曲线上半支上方时x的范围，如图<

8、1>当时直线与双曲线C有两个交点其对应横坐标分别为：120010期