无理不等式的解法

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1、新教师汇报课教案课题：解无理不等式教学目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。教学过程：一、新课引入：前面我们已经研究了一元一次不等式、一元二次不等式和一元高次不等式，它们称为整式不等式，再加上分式不等式，统称为有理不等式，今天我们学习一下无理不等式的解法。二、讲解新课无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。首先，我们来看下面这个例题：例一解不等式引导学生思考：如何解此不等式解：移项：可能出现增根（移项）平方根式有意义（结合数轴）解一元一次不等式∴∴不等式的解集是：{}这是我

2、们所要研究的：题型Ⅰ：通过这个例题（题型）我们可以发现：在解无理不等式的时候，关键是找出与其同解的有理不等式组，而解有理不等式组（如：一元一次不等式组、一元二次不等式组和一元高次不等式组等等）都是我们比较拿手的。简言之：5无理不等式有理不等式即：通常所说的无理不等式的有理化解法。练习一：解不等式⑴⑵（本练习由两位同学板演，其他同学练习后讲解）解：⑴移项：∴∴∴原不等式的解集为⑵∴∴原不等式的解集为{}对两位同学的板演进行讲评，并让同学注意这种题型的结构特征，在解题过程中不要忘记结合数轴来求几个不等式的解集的交集。变题：将上例中的⑵变形为：例二解不等式让学生回答解这道题的方法或需要

3、注意的有关问题，有同学提到：首先要考虑根式有意义，即，接下来去根号；（如何去？）平方！直接平方后得到的不等式是否与原不等式等价？提醒同学注意：解不等式所进行的变换一定要保证是等价变换。引导学生思考：是否一定成立？不一定！因为：只有在的情况之下，才会成立而例二中的的符号并不能确定！由此可见：我们需要对的符号进行讨论。OK,下面就来做此工作（解题）。解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或Ⅱ：5解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}这道题可以作为我们所研究的：题型Ⅱ：练习二：解不等式（学生回答，老师板演）解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：或

4、Ⅱ：解Ⅰ：解Ⅱ：即：或∴∴原不等式的解集为{}请同学们注意这种题型的解法，一定要注意g(x)的正负的讨论，并且原不等式的解集应当是与其等价的两个不等式组解集的并集，尤其要注意结合数轴找出它们的并集，切记！但是，如果将上述练习二中的“>”改为“<”的话，那么又是另一种题型，我们就来看看：例三：解不等式我们可以将其视为：让学生总结其解法，首先考虑一下是否要讨论g(x)的正负？不需要！为什么？因为g(x)只能有一种情况，那就是必须为正，即：g(x)>05题型Ⅲ：下面我们详细地写出例三的解答过程。解：原不等式等价于下列不等式组：∴∴原不等式的解集为{}三、综合练习：解下列不等式：1．解：

5、要使不等式有意义必须：原不等式可变形为因为两边均为非负∴即∵x+1≥0∴2x+1≥0即∴原不等式的解集为{}本题是一道综合题，在解题的过程中我们可以发现，其实它包括了题型Ⅰ和题型Ⅱ，只不过较之又稍微复杂了一些，但仔细看看，其实又简单了一些，如：中x+1≥0，从而≤0，解题时应当注意这些条件。2．解：要使不等式有意义必须：5在0≤x≤3内0≤≤30≤≤3∴>3-因为不等式两边均为非负两边平方得：即>x因为两边非负，再次平方：解之0

6、0

7、型的等价变形请务必分清，关键是考虑我们以前常常讲道的无理根式（函数）的定义域问题；3．注意题型Ⅱ中原不等式的解集应当是两个不等式组解集的并集；同时在解决多个不等式解集的交集问题时，应当结合数轴。五、作业：P24练习1、2、3P25习题6.452001年6月16日5