无理方程的解法

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1、无理方程的解法马秉钺（河北省临漳中学）作者简历:马秉钺河南浚县人，1961年毕业于河北省保定师范学院，同年任河北临漳中学数学教师。1987年被评为中学高级教师。1990年被评为河北省中学特级教师。现任临漳中学数学教师、副校长，临漳县政协常委。教学目的使学生理解无理方程的概念；掌握无理方程的基本解法；理解解无理方程需要验根，并掌握验根的方法。教学过程师：请同学们考虑这样一个问题：有一块直径为5厘米的半圆形铁板，以直径为斜边，怎样截出一个面积为6平方厘米的直角三角形形状的零件毛坯？设一条直角边的长为x厘米，则另一条直角边的长为厘米，因为直角三角形面积为6平方厘米，所以可列出方程

2、。这是什么方程呢？是我们以前学过的方程吗？（有同学在窃窃私语：这是一元一次方程，是一元……但很快否定了。）[一开始就提出问题，能引起学生的注意和学习兴趣。解决一个问题，对学生来说就是一种创造。如果问题获得解法，就能强化进一步学习的动机；如果思维暂时受阻，他们便渴望得到教师的点拨，突破困难，这也能强化学生的求知欲。]师：这个方程和我们已学过的方程有什么不同？（有同学说，未知数在根号下。）回忆我们已学壶的方程：一元一（二）次方程：简单的高次方程；分式方程。我们把一元一（二）次方程和简单的高次方程统称为整式方程。整式方程和分式方程统称为有理方程。那么，根号下含有未知数的方程叫做什

3、么方程呢？（同学们受到启发，可以说出根号下含有未知数的方程叫做无理方程。）（板书：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程。）请同学们思考、判断下面几个方程是不是无理方程？解答略。[从实践中认识无理方程，在对比中认识无理方程，有利于学生理解无理方程的概念。]师：我们再考虑第二个问题：怎样解无理方程？回忆学过的方程的解法。解简单的高次方程的指导思想是“降次”，使之化为一元一次方程或一元二次方程；解分式方程的指导思想是“去分母”，使之化为整式方程。我们总是把新方程化为我们已学过的方程的形式，使问题得以解决。那么，怎样解无理方程呢？（同学们能直觉想到：应该化为有理方程。）[在学习过程

4、中，要不断对知识进行归纳、总结，使之系统化。学习知识的过程是一个不断同化和须应的过程，用旧知识感知新知识的过程。通过对学过的方程的归类及解法的总结，引出无理方程的概念，并在归纳、类比中，引导学生直觉思维，于是，又进入一个新的问题情景：“猜想”和“论证”的矛盾，使学生的思维又一次进入高潮。]师：现在，我们研究一下，怎样把无理方程化为有理方程，从而解无理方程。[例1]解方程解由题意知，2是3x+2的算术平方根，所以2=3x+2,这就相当于把方程两边平方。整理得3x–2=0x=[通过方程两边平方的方法，把无理方程化为有理方程，“猜想”初步得到证实。现在暂不提对根的检验，因为学生还

5、没有感性认识，没有认识到验根的必要性。][例2]解方程。解移项，把被开方数中含有未知数的根式放在方程的一边，其余各项移到另一边，得。两边平方，得x2+5x+1=4x2–4x+13x2–9x=0x1=0,x2=3[例3]解方程=1–2x;师：这个方程两边平方后所得有理方程，和例2方程两边平方后所得有理方程相同，所以解出的两根也应一样。那么，是例2方程的根，也是例3方程的根，大议论一下，迷个结论对不对？怎么解决这个问题？我们可以把x1、x2的值分别代入两个方程检验。先把x1=0,x3=3代入例1方程的两边；把x=0代入例2方程的两边，得左边=右边=2×0–1=-1；所以，x=0

6、不是例2方程的根，是增根，应舍去。把x=3代入例2方程的两边，得左边=右边=2×3-1=5所以，x=3是例2方程的根。因此，例2方程的根是x=3再把代入例3方程的两边检验，是例3方程的根，而是增根。解无理方程为什么会出现增根呢？回想我们解方程的过程，为了化无理方程为有理方程，曾把方程两边同次乘方。方程两边同次乘方，所得方程不一定和原方程同解，可能产生增根，所以解无理方程必须检验，检验解有理方程所得的根是不是原方程的根。检验是解无理方程的必要步骤。所以，例1还没完成，还应该补上检验这一步骤。把代入原方程，得左边=，右=2。所以，是原方程的根。[关于解无理方程必须验根，有两种处

7、理方法：一种是根据方程解变形的两个定理，告诉学生：方程两边同次乘方，所得方程和原方程不一定是同解方程，可能产生增根，因而必须验根；另一种是以先通过感性材料，让学生感知、分析、概括，达到对解无埂方程必须验根的认识。我采用第二种处理方法。通过例2、例3两个无理方程化为有理方程后，成为同一个方程，引起学生的悬念，再回到方程同解变形定理，说明方程两边同次乘方可能产生增根，悬念释然，加深学生对解无理方程必须验根的认识。][例4]解下列方程：（1）解略。现在，我们来解一开始提出问题时所得的方程；解把方程两边平方，并整理，得x4