无理方程的解法.doc

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1、无理方程解法定义：根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程例1解方程分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根．把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．例2解方程分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，

2、这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．4例3解方程解：移项得两边平方后整理得再两边平方后整理得x2＋3x-28＝0，所以x1=4，x2=-7．经检验知，x2=-7为增根，所以原方程的根为x=4．说明：含未知数的二次根式恰有两个或三个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的一边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式

3、恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．2．换元法解无理方程例4解方程分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．解：设，则原方程可化为：，即，解得：或．(1)当时，；(2)当时，因为，所以方程无解．检验：把分别代入原方程，都适合．4所以，原方程的解是．说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想．例5解方程分析与解注意到(2x2-1)-

4、(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．设则u2-v2＝w2-t2，①u+v=w+t．②因为u+v=w+t=0无解，所以①÷②得u-v=w-t．③②＋③得u=w，即解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的根．3.用公式法解例6解方程即4所以移项得4.分式无理方程例7解方程边的分式的分子与分母只有一些项的符号不同，则可用合分比定理化简方程根据合分比定理得两边平方得再用合分比定理得化简得x2=4a2．解得x=±2a．经检验，x=±2a是原方程的根．4