分式方程和无理方程的解法

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3、会用”平方”或”换元法”求根，并会验根．一、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程【例1】解方程．分析：去分母，转化为整式方程．解：原方程可化为：方程两边各项都乘以：即，整理得：解得：或．检验：把代入，不等于0，所以是原方程的解；把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根．(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因

4、此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．2．用换元法化分式方程为一元二次方程【例2】解方程分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意到方程的结构特点，设，即得到一个关于的一元二次方程．最后在已知东莞市第四高级中学古统方收集上传的值的情况下，用去分母的方法解方程．解：设，则原方程可化为：解得或．(1)当时，，去分母，得；(2)当时，．检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，，都是原方程的解．说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出的值，而没有求到原方程的解，即的值．【

5、例3】解方程．分析：注意观察方程特点，可以看到分式与互为倒数．因此，可以设，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．解：设，则原方程可化为：．(1)当时，；(2)当时，．检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．所以，原方程的解是，，．东莞市第四高级中学古统方收集上传说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程【例4】解方程分析：移项、平方，转化为有理方程求解．解：移项得：两边平方得：移项，合并同类项得：解得：或检验：把代入原方程，左边右边，

6、所以是增根．把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．【例5】解方程分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例4的方法解方程．解：原方程可化为：两边平方得：整理得：两边平方得：整理得：，解得：或．检验：把代入原方程，左边=右边，所以是原方程的根．把代入原方程，左边右边，所以是增根．所以，原方程的解是．说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的

7、一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．2．换元法解无理方程【例6】解方程东莞市第四高级中学古统方收集上传分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：．因此，可以设，这样就可将原方程先转化为关于的一元二次方程处理．解：设，则原方程可化为：，即，解得：或．(1)当时