7 分式方程和无理方程的解法及圆的四心

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1、第七讲分式方程和无理方程的解法及圆的四心一、可化为一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程为一元二次方程【例1】解方程．2．用换元法化分式方程为一元二次方程【例2】解方程【例3】解方程．二、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．1．平方法解无理方程【例4】解方程【例5】解方程2．换元法解无理方程【例6】解方程6三、圆的“四心”1．外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。△ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA＝OB＝OC。(2)∠A＝

2、。【例1】证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心．已知：△ABC中，XX′，YY′，ZZ′分别是BC，AC，AB边的垂直平分线，求证：XX′，YY′，ZZ′相交于一点(图3－111)．2．内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。△ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。(3)∠BIC＝90º＋∠A，∠CIA＝90＋∠B，∠

3、AIB＝90º＋∠C。【例2】证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是∠A，∠B，∠C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3－110)．3.垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。△ABC的垂心一般用字母H表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。(2)若H在△ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；

4、A、B、D、E共六组四点共圆。(3)△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。6(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。【例3】证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心．已知：如图3－114，△ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点．4.重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。△ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的

5、2倍。(3)。【例4】证明：三角形的三条中线相交于一点，此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．已知：△ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AG∶GX＝2∶1(图3－112)．课后自我检测A组1．解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．用换元法解方程：63．解下列方程：(1)(2)(3)4．解下列方程：(1)(2)5．用换元法解下列方程：(1)(2)B组1．解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．用换元法解下列方程：6(1)(2)(3)

6、2．若是方程的解，试求的值．4．解下列方程：(1)(2)5．解下列方程：(1)(2)6(3)A组1．2．3．4．(1)．(2)．5．B组1．2．3．4．5．6