不等式的性质--不等式的证明与应用（3）

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1、高中数学（上册）教案第二章不等式（第8课时）保康县职业高级中学：洪培福课题：2.1不等式的性质--不等式的证明与应用（3）教学目的：1．掌握分析法证明不等式；2．理解分析法实质——执果索因；3．提高证明不等式证法灵活性教学重点：分析法教学难点：分析法实质的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理

2、）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法二、讲解新课：1．分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：3．分析法的思维特点是：执果索因4．分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证

3、明命题为真，从而有……这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真三、讲解范例：例1求证证明：∵综合法：为了证明∵21<25只需证明：∴展开得：∴即：∴∴因为成立∴∴∴说明：①分析法是“执果索因”第23页高中数学（上册）教案第二章不等式（第8课时）保康县职业高级中学：洪培福，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已

4、知A为真，故B必真例2已知：，求证：.证一：（分析法）要证∵故只需证即证：即：（显然）∴原式成立证二：（综合法）∵∴展开得:,∴.说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的四、课堂练习：已知,求证:分析一:用分析法证法一:(1)当时,显然成立(2)当时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证

5、0≤(bc-ad)2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥

6、ac+bd

7、≥ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥

8、ac+bd

9、≥ac+bd,即五、小结：

10、通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法六、课后作业：用分析法证明下列不等式:(1);(2);(3)设a,b,c∈R+,求证:.七、板书设计（略）八、课后记：第23页