不等式的性质与不等式的证明.doc

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1、....不等式的性质与不等式的证明一.教学内容：不等式的性质与不等式的证明二.教学重点、难点：1.理解不等式的性质及其应用。2.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用。3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单不等式。三.知识串讲：（一）不等式的意义和性质1.不等式的意义：对于任意实数a，b不等式的意义是不等式的基础，是比较两个实数的大小及作差法证明不等式的（基础）依据。2.不等式的性质（二）不等式的证明w...v....证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、放缩法及利用函数单调性等方法。而比较法

2、、综合法和分析法是证明不等式的最基本方法，也是高考命题的重要思想方法。1.比较法比较法是证明不等式的一种最重要、最基本的方法，可分为作差法和作商法。→结论”。其中变形是作差法的关键，常用的变形手段是因式分解或配方。差式若为分式，一般要先通分，再将分子、分母因式分解。→变形→与1比较大小→结论”，多用在证明幂、指数形式的不等式的时候。当“差”或“商”式中含有参数或符号不能一概而论时，要进行讨论。2.综合法由题设条件以及已知的定义、公理、定理不断推导出所证命题成立的必要条件（由因导果）直至推导出命题的结论，这种证明方法叫综合法。在证明过程中，常

3、用的结论：平均值不等式：它们的变形也要熟知：在使用平均值不等式时，一定要注意它们的成立条件。3.分析法从待证的不等式出发，寻求该不等式成立的充分条件的方法叫分析法。即为“执果索因”。在证明不等式时，经常用分析法探求证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程的步步可逆及书写格式。【典型例题】w...v....例1.解法1：取差法解法2：比商法例2.解析：w...v....∴选B例3.A、B、C、D的大小。解：将①、④进行比较：②、③比较：w...v....本题也可以用图象法来解

4、：图象。例4.证明：w...v....例5.分析：证明：∵左端≥右端∴原不等式成立例6.分析：本题若采用比较法和综合法难度大，故采用分析法探求证法。w...v....证明：例7.在两个正数x，y之间插入一个正数a，使x，a，y成等比数列；若另外插入两个正数b，c使x，b，c，y成等差数列。证明：w...v....例8.（1）解：（2）解：w...v....点评：对于（1）题，如下解法是否正确？此种解法是错误的。因为在二次运用平均值不等式中，取“＝”的条件是矛盾的，因此“＝”不成立。对于（2）题，基本思路是借助条件式，化二元函数为一元函数再去

5、运算。例9.证明：充分性：必要性：w...v....综上可知，所证结论成立。例10.解：w...v....【模拟试题】一.选择题。1.下列命题中：①②③④其中正确的命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.若，则下列各式中正确的是（）A.B.C.w...v....D.3.已知，则（）A.B.C.D.4.设恒成立的a的最小值是（）A.B.C.2D.二.填空题。5.若由小到大的排列顺序是____________。6.若，则P、Q关系为P______Q（填“＞”，“＜”，“＝”）。7.若，则的最大值是____________。8.已知，那

6、么（填“＜”或“＞”）。9.已知，且，则的最小值是___________。10.函数的图象的最低点的坐标是_____________。三.解答题。11已知，求证：12.已知，且，求证：w...v....（1）（2）13.求证：14.设，且。求证：w...v....【试题答案】一.选择题。1.B2.C3.D4.B二.填空题。5.6.＞7.18.＜9.1610.（0，2）三.解答题。11.略12.（1）原式左边……（每个因式中利用平均值定理）（2）取差法。注意到。13.一边用均值定理，另一边用分析法。14.由<1><2>知：a、b是方程的两个根

7、设解得：w...v....w...v