不等式的性质与不等式证明

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1、高三讲座第十三讲不等式的性质与不等式证明学过什么？1．不等式的定义：若；；．2．不等式的性质：推论：若a＞b，且c＞d，则a+c>b+d（同向，可加性）（1）　　　（对称性）（2）（传递性）（3）（加法不变性）学过什么？（4）；（乘法单调性）3．不等式的证明的方法：比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等．推论1：若a＞b＞0，且c＞d＞0，则ac＞bd推论2：若a＞b＞0，则（，且n＞1）推论3：若a＞b＞0，则（，且n＞1）高考要求1．理解不等式的性质，能够对性质进行证明．4．能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确错误，能正确使用特殊值法，判断

2、不等式的正误．3．掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不等式．2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（）1．（04—北京）D．ac(a－c)＜0B．c(b－a)＞0A．ab＞acC．考过什么？考过什么？∴c(b－a)＞0正确分析：∵ac＜0说明a、c异号，又c＜b＜a∴a＞0，c＜0．A．∵b＞c，a＞0∴ab＞ac正确B．c＜0，b－a＜0D中ac＜0，a－c＞0∴ac(a－c)<0正确，只有C中∵b＜a，由于b未说明是否大于零

3、．∴不一定成立．c＜0，则也不一定成立．选（C）．设a＞0，b＞0，则下列不等式中不恒成立的是（）2．（04—湖南）B．C．D．A．考过什么？∵a＞0，b＞0分析：，∴（A）成立则又∵，∴（C）成立考过什么？考过什么？又∵时，，，两边平方得显然成立．∴（D）成立．在（B）中，若a＞b，则a－b＞0∴应恒成立．但从上式看出，a与b之间尚有制约性．∴选（B）3．（04－湖北）A．若，则下列不等式中不正确的是（）D．C．B．考过什么？分析：考过什么？∵∴0＜b＜a＜1，．A，B显然成立．∵０＜b＜a＜1，∴，则成立．若令检验，D不成立．∴选（D）考过什么？若a＜b＜

4、0，则下列结论中正确的命题是（）4．（99－上海）A．和均不能成立．B．和均不能成立．C．和均不能成立．D．和均不能成立．考过什么？分析：∵a＜b＜0∴，各A、B、D中的不能成立．又b＜0，－b＞0∴a－b＞a又a－b＜0，∴（C）中不成立．又∵a＜b＜0，∴则成立．对于　　　　若成立，则a－b＜b＜0．∴a＜2b＜0这个结论不一定成立，因此，只有（B）中两个结论均不成立．∴选（B）考过什么？考过什么？设a，b为实数，则a＞b＞0是（　　）5．（01－上海春）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件考过什么？分析：有条件a＞b＞0

5、，可推出，但从不一定能推出a＞b＞0，只能是．∴条件a＞b＞0只能定的充分不必要条件．∴选（A）1．注意不等式的性质中左侧表示实数的运算性质，右式反映的是实数的大小顺序，合起来即为实数运算性质与大小顺序之间的关系．这是不等式一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式和解不等式的主要依据．2．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，这又必然归结到实数运算的符号法则．因此，实数运算的符号法则是学习不等式的基础．3．复习不等式的性质时，要注意将不等式的性质与等式的性质类比．注意它们之间的区别，主要表现在与数相乘（除）时，不

6、等式两边所乘（除）的数的符号不同，结论是不同的．4．在均值不等式的复习中，与成立的条件是不同的．前者只要求a，b为实数，而后者要求a，b为正数，这两个公式都是带有符号的不等式．因此对其中“当且仅当……时取‘＝’号”这句话的含义要搞清楚．5．能利用“均值不等式”证明的不等式，用其它证明方法一样可证．因此，均值不等式就是利用这些方法证明的，要利用均值不等式求函数的极值时，一定要注意不等式使用的条件及等号能否成立，不可乱用．6．不等式证明的方法很多，要注意恰当选择方法，可使证明简化．例题解析例1．已知比较A、B、C、D的大小．分析：本题考查两个

7、实数的大小，如果两个两个相比较，需比较次，运算量比较大．由于给定，所以可令采用特殊值办法，先猜出大小，再证．例题解析解：∵，∴令由此知∴可猜测C＞A＞B＞D∵∴C＞A例题解析∴A＞B∵∴∴B＞D综上：C＞A＞B＞D例题解析本题我们采用了赋值法（特殊值法），先行猜想，使问题得以简化、明朗．注意赋值法是解选择题、开放题等常用的方法，它可将复杂问题简单化，是我们常用的数学思想．考过什么？例2．设，且，试比较与的大小．分析：比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法”．前者依靠A－B与0的关系判断A，B大小，而后者则靠（b＞0）与1的关系来确定a，b大小，前

8、者适用于多项式型，后者适合指数型或对数