高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一课堂导学案新人教b版选修1

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1、2.1.2椭圆的几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m＞0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：=1∵　∴m＞即a2=m,b2=,c=由e=　∴m=1∴椭圆的标准方程为∴a=1　b=　c=∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，四个顶点分别为A1(-1，0)　A2(1，0)　B1(0，-)　B2(0，).二、求椭圆的离心率【例2】在Rt△ABC中，AB=AC=1.如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一

2、个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为(　　)A.B.-1C.D.解析：设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a,BC+BC′=2a,又∵BC=，BC′=1-AC′，∴解得AC′=，a=,∴离心率e=,故选A.答案：A温馨提示本题运用椭圆的定义、离心率公式先列出关于某些特征量的方程组，然后通过解方程求出这些特征量，最后求出离心率的值，这是解圆锥曲线问题的常用方法.三、离心率的应用【例3】已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=,求椭圆的方程.解析：∵椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=,∴点A不

3、是长轴的端点(是短轴的端点).∴

4、OF

5、=c,

6、AF

7、=a=3,∴.∴c=2,b2=32-22=5.∴椭圆的方程是温馨提示△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c,斜边的长为a,∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练1求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解：把已知方程化成标准方程：+x2=1,这里a=5,b=1,所以c==2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).变

8、式提升1已知点P(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标(P点除外)？这几个点的坐标是什么？解：根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标.这三个点的坐标分别是(3，-6)、(-3，-6)、(-3，6).类题演练2设椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1,若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是_________.解析：由题意知，过F1且垂直于x轴的弦长为∴∴∴　即e=∴应填：变式提升2椭圆(k＞0)具有(　　)A.相同的长轴长B.相同的焦点C

9、.相同的离心率D.相同的顶点解析：=k可化为=1故与=1有相同的离心率答案:C类题演练3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.解：∵e=,∴∴可设所求椭圆方程为=1(t＞0),∴c2=9t-8t=t,c=t,M(t,4).∵M在椭圆上，∴∴t=.故所求椭圆的方程是变式提升3若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)、F2(3，0)，则其离心率为(　　)A.B.C.D.解析：由F1，F2的坐标得2c=3-1　∴c=1∵椭圆过原点a-c=1　a=1+c=2∴e=　故选C