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1、中國剩餘定理台師大數學研究所碩士班研究生楊瓊茹一、前言在遊覽數學史這座寶山時，一幅幅數學風景呈現眼前，令人心曠神怡。尤其是一些非常有趣的發現，總是帶給我們意外的驚喜！例如：中國《孫子算經》中的『物不知數』與義大利《算盤書》中的『一次同餘組』這兩者對比下的相似性，就是很值得進一步討論的問題。在空間、時間差距甚大的場景下，它們竟有著『幾乎一致』的內容，其中是否有數學文化的交流？或者是歷史的巧合，是各自數學知識獨立的發展？甚至是否源於另一個數學文化？產生什麼影響？諸如這樣的問題，也往往引起數學史家的注意及興趣。此外，我們也發現到其他相
2、當具有特色的『物不知數』題型，例如數學詩歌、『翦管術』和『天算頌』。在本篇文章的最後部分，我們嘗試著將『物不知數』給予數學延拓。對於『物不知數』和『一次同餘組』此種類型的問題，南宋秦九韶(1202-1261)的一般化解法和德國數學家高斯(Gauss)於1801年所發表的剩餘定理相同，因此，西方國家稱此類型的問題為『中國剩餘定理』(TheChineseRemainderTheorem)。底下，我們將開始這趟數學之旅！二、文本對比首先，引述中國《孫子算經》中『物不知數』的文本內容：1.引孫子(1993)，頁243。今有物不知其數，三
3、三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？答曰︰二十三術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十。并之得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。再看《算盤書》中的『一次同餘組』︰2.引DavisandHersh(1981),pp.188-189.Letacontrivednumberbedividedby3,alsoby5,alsoby7;andaskeachtimewhatremain
4、sfromeachdivision.Foreachunitythatremainsfromthedivisionby3,retain70;foreachunitythatremainsfromthedivisionby5,retain21;andforeachunitythatremainsfromthedivisionby7,retain15.Andasmuchasthenumbersurpasses105,subtractfromit105;andwhatremainstoyouisthecontrivednumber.Ex
5、ample:supposefromthedivisionby3theremainderis2;forthisyouretaintwice70,or140;fromwhichyousubtract105,and35remains.Fromthedivisionby5,theremainderis3;forwhichyouretainthreetimes21,or63,whichyouaddtotheabove35;youget98;andfromthedivisionby7,theremainderis4,forwhichyour
6、etainfourtimes15,or60;whichyouaddtotheabove98,andyouget158;fromwhichyousubtract105,andtheeremainderis53,whichisthecontrivednumber.3.《算盤書》的『一次同餘組』中文翻譯︰設計一個數，除以3、除以5、也除以7，問每次除法各剩餘多少。對於除以3所剩餘的每個單位1，要記住70；對於除以5所剩餘的每個單位1，要記住21；對於除以7所剩餘的每個單位1，要記住15，這樣的數如大於105，則減去105，其剩餘就是所
7、設計的數。例如：設一數除以3餘2，記住70的2倍或140，其中減去105，則剩餘35，若除以5餘3，記住21的3倍或63，與上述35相加得98。若除以7餘4，記位15的4倍或60，與上述98相加則得158，減去105，其剩餘是53，這就是所設計的數。引李文林(2000)，頁202-203。面對這兩則文本，我們先嘗試著用現代數學符號表示︰《孫子算經》的『物不知數』︰N≡2(mod3)≡3(mod5)≡2(mod7)N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23；《算盤書》的『一次同餘組』︰N≡2(mod3)≡3(mod5)≡4
8、(mod7)N＝(70×2－105)＋21×3＋15×4－105＝53兩者共同都有的解題概念︰N≡(mod3)≡(mod5)≡(mod7)N＝70×＋21×＋15×－105T,其中T是使N為最小正整數的數。就數學表徵來看，兩者是一致的，雖然被7除的餘數以及在扣除
