《高中数学联招》餘式定理與因式定理

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1、※重要范例1.设deg/(x)=3,/⑵=/(-1)=/⑷=3,/(1)=-9,则/(0)=o【解答】-13【详解】deg/(x)=3,/⑵=/(-1)=/⑷=3则f(x)-3=a(x-2)(兀+1)(%-4),即f(x)=a(x-2)(兀+1)(兀-4)+3“1代入=>/(I)=ax(-1)x2x(-3)+3=-9=>a=-2得/(x)=-2(兀+2)(兀+1)(兀一4)+3故/(0)=—2x(-2)x1x(-4)+3=-13随堂练习.若三次多项式g(x)的g(—l)=g(0)=g⑵=0,g(l)=4,试问(1)g⑴=o⑵若多项式h(x)=%设多项式

2、/(力除以x-1,x2-2x+3之余式依次为2,4兀+6,则/©)除以(x-1)(?-2x+3)的余式为“【解答】-4x2+I2x—6-x2+1,则3g(x)-4/?(%)被兀-1除的余式为°【解答】(l)-2x(x+l)(x-2)(2)8【详解】(1)由g(-1)=g(0)=g(2)=0,degg(兀)=3,可设g(x)=ox(x+1)(兀一2)又g⑴=ax2x(-1)=4=>a=-2f故g(兀)=-2兀0+1)(兀-2)(2)令F(x)=3g(兀)-4/1⑴则所求余式为F(l)=3g(l)-4/7(1)二3x4—4x(l-1+1)=12-4=82.

3、deg/(%)=2且/(1998)=1,/(1999)=2,/(2000)=7,则/(2002)=。【解答】29【详解】设/(x)=q(兀一1998)(%-1999)+b(兀一1998)+1/(1999)=/?+1=2,1,/(2000)=2d+2b+1=7,a=2=>f(x)=2(x-1998)(%-1999)+(x-1998)+1则/(2002)=2x4x3+4+1=293.设/(兀)为实系数多项式，以兀-1除之，余式为9；以x-2除之，余式为16,求/(兀)除以(x-l)U-2)的余式为«【解答】7x+2【详解】已知/(I)=9,/⑵=16,设f

4、(x)=(%-1)(%-2)(2W+(ax+/?)=>余式=7x+2【详解】/(x)=(兀一l)(x2-2x+3)h(x)+-2兀+3)+4兀+6f(l)=2a+10=2na=-4・・.余式为-4a**"+12x—65.设/(劝除以(兀-1)2的余式是X+2,除以(X-2)2的余式是3兀+4,则/(X)除以(X-1)(%-2尸的余式是o【解答】-4#+19—12【详解】已知=>/(1)=3设/(x)=(x-1)(兀一2)2e(x)+0(无一2)2+3x+4]令兀=1彳弋入=>/(1)=°+(3+4)=3得°=一4故余式为-4(x-2)2+3x+4=-4

5、r+19x-12随堂练习.设deg£3X4,fg除以(x-I)2余式为3%+2,除以(%+2)2余式为5%-3,则(A)无一1除/(兀)余式为5(B)jv+2除/(兀)余式为一13(C)(jv—1)(兀+2)除/⑴余式为6x—1(D)(%-l)2(x+2)除/(兀)余式为—F+5x+1(E)(%-l)2(x+2)2除/(兀)余式为—.¥*■+5兀+1【解答】(A)(B)(C)(D)【详解II。：(x-I)2除/⑴余式为3兀+2.•・兀一1除/(兀)余式为5又(x+2)2除/(兀)余式为5x-3・•・x+2除/(兀)余式为—132°设/(兀)=g(x)(

6、x一1)(x+2)+tzx+h*//(1)=5,f(-2)=-13・°・a=6,b=-I(x-1)(x4-2)除/(x)余式为6x-13°设f(x)=Q(x)(x-1尸(兀+2)+(x一I)?+(3兀+2)•••/(-2)=-13・•・=-1/.(x-1)2(x+2)除/⑴余式为-(x-1)2+(3x+2)=-x2+5x+14°设/(兀)=h(x)(x一1尸(兀+2)2+(rnx+n)(x-I)2+(3x+2)又/(兀)=h(x)(x一1)2(兀+2)2+(mx+t)(x+2)2+(5兀一3)(rnx+ri)(x-l)2+(3x+2)=(jnx+t)(

7、x+2)24-(5x一3)令x=L9(m+/)+2=5；令兀=-2,9(-2m+/i)-4=-13；令x=0,n+2=4t-3(x—1)(x+2)2除f(x)余式=(—x—)(x—1)*"+(3x+2)Hf+5x+1随堂练习•设多项式于⑴除以(x—1)(%—2)(兀—3)之余式为2%-+无-7,贝!J(A)/(x)除以兀-1的余式为4(B)/(x)除以x-2的余式为3(C)/U)除以兀-3的余式为14(D)/(x)除以(x-l)(x-2)的余式为7x-ll(E)/(x)除以(x-2)(x-3)的余式为11x4-19【解答】(B)(C)(D)【详解1设/

8、(x)=(x-1)(%-2)(%一3)Q(x)+2/+%一7(A)/(x)除以兀一1的余工弋=