1-5多项式因式分解定理

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1、§1-5多项式的因式分解定理引入课题初等数学中的因式分解,何为不能再分?多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令的一个次数大于零的多项式，如果中只有平凡因式，就称f(x)为数域P上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上（或在P[x]中）是可约的。

2、如果，都小于的次数。反之，若能写成两个这样多项式的乘积，那么有非平凡因式；如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n的多项式即那么在P上可约。由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的。不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式不可约，那么P中任意不为零的元素c与的乘积c都不可约。2.设是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者与P(x)互素，或者整除P(x).3.如果多项式与的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整

3、除。Theorem5.如果是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式的乘积,那么一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1时,结论成立;当s=n时,令,如果命题成立,如果,从而,即n-1多项式的乘积,由归纳法假设整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.证明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个次多项式都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么，必有s=t，并且适当地排列因式的顺序后有标准分解式

4、（典型分解式）：其中c是f(x)的首项系数，是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而正整数。例1：在有理数域上分解多项式，。例2：求。例3.求分解式.例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式突出不同数域上不同多项式的因式分解的特点和为不可约多项式的乘积。解:Q[x]在Q[x]上布置作业P45-15;在R[x]上;在C[x]上