多项式的因式分解

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1、§1-5多项式的因式分解定理引入课题初等数学中的因式分解,何为不能再分?多项式在有理数域、实数域、复数域上的因式分解在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令的一个次数大于零的多项式，如果中只有平凡因式，就称f(x)为数域P上（或在P[x]中）的不可约多项式。（p(x)在数域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x)就说是在数域P上（或在P[x]中）是可约的。如果，都小于的次数。

2、反之，若能写成两个这样多项式的乘积，那么有非平凡因式；如果P[x]的一个n次多项式能够分解成P[x]中两个次数都小于n的多项式即那么在P上可约。由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的。不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式不可约，那么P中任意不为零的元素c与的乘积c都不可约。2.设是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者与P(x)互素，或者整除P(x).3.如果多项式与的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除。Theorem5.如果是一个不可约多

3、项式,P(x)整除一些多项式的乘积,那么一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1时,结论成立;当s=n时,令,如果命题成立,如果,从而,即n-1多项式的乘积,由归纳法假设整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.证明因式分解定理因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个次多项式都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么，必有s=t，并且适当地排列因式的顺序后有标准分解式（典型分解式）：其中c是f(x)的首项系数，是不同的、首项系

4、数为1的不可约多项式，而正整数。例1：在有理数域上分解多项式，。例2：求。例3.求分解式.例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式突出不同数域上不同多项式的因式分解的特点和为不可约多项式的乘积。解:Q[x]在Q[x]上布置作业P45-15;在R[x]上;在C[x]上多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材

5、中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc

6、=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+

7、4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-

8、b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(