多项式的因式分解

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1、多项式的因式分解　　一、因式分解的相关概念　　把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。　　我们在理解这个概念时需要注意以下几点：　　1.因式分解是多项式的一种恒等变形，是整式乘法的逆变形。(请注意，不能称之为“逆运算”)　　2.分解因式是对多项式而言的，而且分解的结果必须是整式的积的形式。　　3.分解因式的结果要使每一个因式不能再分解。　　4.分解因式都是在指定的数集内进行。现阶段，如果没有特殊说明，一般指有理数集。　　例1.判断下列各式中等号的左边到右边的变形是否是因式分解。　　(1)

2、(x+3)(x-3)=x2-9　　(2)x3+x=x(x2+1)　　(3)x3-x=x(x2-1)　　(4)x2-x+1=x(x-1)+1　　考点，因式分解的基本概念　　解：(2)是因式分解，其它均不是　　分析：(1)是整式的乘法运算；　　(3)中等式右侧尽管已经写为乘积的形式，但其中(x2-1)还可以继续分解；　　(4)中等式的右侧尽管出现整式乘积的形，但它是部分的，而非整体的。因式分解的乘积形式是指整体。　　二、提公因式法　　1.什么叫公因式？　　多项式中每一项都含有的因式，叫做公因式。　　2.什么是提公因式法？　　如果一个多项式的各项含有公因式，

3、那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。　　3.公因式怎么找？(常规方法)　　(1)系数：各项系数的最大公约数；　　(2)字母：各项都含有的相同字母；　　(3)指数：相同字母的最低次幂；　　(4)其它：如需提取整式等。　　4.提出公因式后，剩下的因式怎么求？　　剩下因式的求法是：用公因式去除多项式的每一项，所得的商即为所求。　　5.从例题看方法　　例2.把下列各式分解因式。　　(1)2x2+x；　　(2)　　(3)xn+3xn-1+xn-2；　　(4)a(x-3)+2b(x-3)；　　解析：　

4、　(1)原式=x(2x+1)　　注意①：“1”作为系数时，通常省略不写，但单独成一项时，它在因式分解时不能被遗漏。　　(2)原式　　注意②：多项式一般要按字母的降幂排列，以便观察。　　注意③：当多项式的第一项系数是负数时，一般要提出“-”号，使括号中的第一项变为正的。在提出“-”号后，多项式中的各项均要变号。　　注意④：在多项式中，如果各项系数中出现分数，通常会在提公因式时也将分数提出来，使得括号中的各项系数均为整数，以便于观察其是否可以继续分解。　　注意⑤：分解因式要彻底。一般先看多项式是否可以提取公因式，再看可否使用其它方法。　　(3)原式=xn-

5、2·x2+xn-2·3x+xn-2·1　　=xn-2(x2+3x+1)　　注意⑥：出现字母指数时，要注意比较其大小，确定最低次幂。　　(4)原式=(x-3)(a+2b)　　注意⑦：有时提取公因式是需要提“整体”的。　　[练习]　　将下列各式分解因式。　　(1)8x3y2-12xy3z+4xyz；　　(2)　　(3)2xn-3-6xn-2+8xn-1；　　(4)3(x-y)3+9(y-x)2；　　(5)m(5ax+ay-3)-3m(3ax-ay-1)　　解：(1)原式=4xy(2x2y-3y2z+z)　　(2)原式　　　　(3)原式=2xn-3-2xn-

6、3·3x+2xn-3·4x2　　=2xn-3(1-3x+4x2)　　=2xn-3(4x2-3x+1)　　(4)原式=3(x-y)3+9(x-y)2　　=3(x-y)2·(x-y)+3(x-y)2·3　　=3(x-y)2(x-y+3)　　注意⑧：注意用整体思想去观察，有时还需对多项式进行变形使其形式统一。关于幂的底数的符号与指数有如下的规律：　　　　(5)原式=m[(5ax+ay-3)-3(3ax-ay-1)]　　=m(5ax+ay-3-9ax+3ay+3)　　=m(-4ax+4ay)　　=m(-4a)(x-y)　　=-4am(x-y)　　注意⑨：提公因

7、式后所得的另一个因式，如果含有中括号要整理，把中括号变为小括号。因式分解结果一般要求只含小括号。　　三、公式法　　利用因式分解与多项式乘法互为逆变形的关系，可以将乘法公式反过来应用，进行因式分解。　　我们不妨回忆一下，大家学过的几个乘法公式。为了使用方便，我们在此将其反过来写为因式分解的形式。　　1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2　　因式分解形式：a2-b2=(a+b)(a-b)　　运用公式的条件为：　　①所给多项式为两项；　　②两项符号相反；　　③这两项分别可化为一个数(或一个整式)的平方的形式。　　例3.把下列各式分解因式。　　(1)

8、25-16x2；　　(2)(x+y)2-1；　　(3)9(x+y)2-16(x-y)2；　　(