浅谈多项式因式分解

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1、《浅谈多项式因式分解》提纲多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分.在运算，解方程等方面都有极其广泛的应用•本文将给出一元多项式在实数范围内因式分解的儿种常见的方法.1定义及定理2分解因式的方法2.1提公因式法2.2公式法2.3十字相乘法2.4分组分解法2.5求根公式法2.6换元法2.7待定系数法结束语揭阳职业技术曇皖毕业论文题目：浅谈多项式因式分解学生姓名林洵子指导教师黄耀俊系（部）数学与计算科学系专业数学教育班级072班学号07214221捉交日期20年月曰答辩日期20年月日20年月曰浅谈多项式因式分

2、解摘要多项式因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.本文将给出一元多项式因式分解的几种常见的方法.如提公因式法，公式法，分组分解法等等.分析了这些方法的特点，给出具体实例.关键词：因式分解多项式分组分解引言多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，也是代数式恒等变形的一个重要组成部分.在运算，解方程等方而都有极其广泛的应用•本文将给出一元多项式在实数范围内因式分解的几种常见的方法.1定义及定理定义1设F是一个数域，兀是一个文字(或变量)，形式表达式/(x)=anxn+an_xx

3、,1

4、+・・・+。

5、兀+^0(1)其屮他4卫2,…，仇丘尸，川是非负整数，称为数域F上关于x的一元多项式，通常记为/*(兀),g(x),…或f,g…,在⑴中勺*称为/(%)的第i项，勺称为i次项系数.(i=0,1,2,…)定义2给TF［x］的任何一个多项式/(x),那么F的任何不为零的数c都是.f(兀)的因式。另一方面，c与/⑴的乘积创x)也总是于⑴的因式.我们把/(x)的这样的因式叫做它的平凡因式.定义3令门朗是尸［兀］的一个次数大于零的多项式•若是/(兀)在尸［兀］只有平凡因式，/(兀)就说是在数域F上(或在F［力中)不可约•若是/(

6、力除平凡因式外,在FH］中还有其它因式，.f(x)就说是在F(或在F［刘中河约.定义4把一个多项式分解成儿个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.多项式的唯一分解定理：数域F上每一个次数的多项式/(兀)都可以唯一地分解成数域F上一些不可约的多项式的乘积.多项式的标准分解式：数域F上每一个次数nl的多项式兀切都有唯一标准分解式/U)=Mp2r?(x)…於(%)其中Q为./'⑴的首项系数，卩⑴,卩2(兀)，…，化(兀)是数域F上首项系数为1的互不相同的不可约多项式，…工是止整数.在对一个多项式进行因式分解时，我们首先要讨论这个多项式到底要分解

7、到什么程度，其依据就是以上给出的多项式的唯一分解定理和多项式的标准分解式.2分解因式的方法2.1提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式化成两个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.具体方法：当各项系数都是整式时，公因式的系数应取各项系数的最人公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，取相同的多项式的次数取最低的.例1分解因式3(6f-b)3x-^6(b-a)2x2y解：原式=3(a-b)3x+6(a-b)2x2y=3(a-b)2x(a-b+2xy)注意：如果多项式的第一

8、项的系数是负的，一般要提出负号，使括号的第一项的系数化成正数，提出负号时，多项式的各项都要变号.例2分解因式-56*yz+14x〒z-21x)宀2解：原式=-7xyz(8x2-2xy+3yz)注意：提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同.口诀：找准公因式，一次要提净，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶.2.2公式法如果把乘法公式反过来，某些多项式满足特殊公式的结构特征，就可以将这些多项式进行因式分解，这种分解因式的方法叫做公式法.常用因式分解公式有：平方差公式：a2-b2={a^ba-b)立方差公式：ci'±b3=

9、(a±h)(a2+ah+b2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中公式中的a^Wb都可以表示任何一个代数式，凡是具备公式左边的结构特征的代数式都可以按照公式分解为右边的形式，达到因式分解的目的•灵活运用这些公式就可以把一些代数式因式分解.2.2.1平方差公式(1)平方差公式的左边是一个二项式且两项异号，即为两个数(或式)的平方差；(2)右边则是这两个数(或式)的和与这两个数(或式)的差的积.例3分解因式64x6-y,2解：原式=(8x3)2-(/)2=(8x3-y6)(8x3+y6)=[(2x)3-(y2)3][(2x)3+

10、(y2)3]=(2x-y2)(4x2+2x)Q+y4)(2%+y2)(4x2-2xy2+y4)例4计算1.22222x9-1.33332x4解：1.22222x9-1.33332x4=(1.2