因式分解定理.ppt

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1、一、因式分解定理二、重因式§5.3因式分解定理三、多项式函数与余数定理因式分解与多项式系数所在数域有关如：（在有理数域上）问题的引入（在实数域上）（在复数域上）一、因式分解定理设，且，若不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的定义5.6乘积，则称为数域P上的不可约多项式.注①一个多项式是否不可约依赖于系数域.②一次多项式总是不可约多项式.1、不可约多项式③多项式　　　　　　不可约.的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.或引理多项式不可约，对　　　　　　有证：设则或即或不可约.，若则或证：若结论成立.若　　不整除，则定理5.7设不可约，则必有某个　　　使得推广：设若，则可

2、唯一地分解成数域P上的一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，若有两个分解式定理5.8则，且适当排列因式的次序后，有其中是一些非零常数．2、因式分解及唯一性定理总可表成对其中　为　　的首项系数，　　为互不相同的，首项系数为1的不可约多项式，的标准分解式.称之为标准因式分解式：注：①若已知两个多项式的标准分解式,则可直接写出就是那些同时在的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在　　　　　中所带的方幂指数中较小的一个．例若　　　　　的标准分解式分别为则有②虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法．实际上，对于一般的情形

3、，普通可行的分解多项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．二、重因式设为数域P的不可约多项式，则称为的重因式，其中k是非负整数.若>1,则称为的重因式.（若=0，不是的因式)若，但定义5.7若＝1,则称为的单因式.1、定义若的标准分解式为：则为的重因式.时，为单因式;时,为重因式.2、重因式的判别和求法方法一：方法二：（定理5.9）若不可约多项式是的重因式则它是　　的微商的重因式.为的重因式，但　　未必是的重因式.注：定理5.9的逆命题不成立，即例　举例说明下面命题是不对的．解：令　则但是的2重根，不是的根，从而不是的3重根．推论1若不

4、可约多项式是的重因式则是的因式，但不是的因式.推论2不可约多项式是的重因式是与的公因式.推论3注:不可约多项式为的重因式为的重因式.与有完全相同的不可约因式，且　　　的因式皆为单因式.，若其中为不可约多项式，则为的重因式.推论4推论5多项式没有重因式根据推论3、4可用辗转相除法，求出注：来判别是否有重因式．若有重因式，还可由的结果写出来.例5.6判别多项式　　有无重因式.若有求出重因式，及其重数.三、多项式函数与余数定理1.多项式函数将　　的表示式里的　用　代替，得到P中的数称为当　　　时　　的值，记作这样，对P中的每一个数　，由多项式　　确定P中唯一的一个数　　与之对应

5、，于是称　为P上的一个多项式函数．设数若多项式函数在　处的值为0，即则称为的一个根或零点．2.多项式函数的根(或零点)易知，若则，（余数定理）：若用一次多项式去除多项式则所得余式是一个常数，该常数等于函数值二、多项式函数的有关性质1.余数定理（定理5.10）是的根推论:例1求在处的函数值.法一：把　代入求用去除所得余数就是法二：答案：若是的重因式，则称为的重根.当时，称为的单根．当时，称为的重根．2.多项式函数的k重根定义注：①是的重根是的重因式．②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重根．例如，为的重因式，但在R上没有根．3.根的个数定理(定理5.11)任一中的

6、次多项式在中的根不可能多于个，重根按重数计算．4.定理5.12且若有使则证：令则有由Th5.11，若的话，则矛盾．所以，即有个根，即定理5.12解：例2求t值，使有重根．法一：辗转相除法若即则此时，　　有重根，为　　的三重根．若即则此时，　　有重根，为　　的二重根．法二：利用重根的定义和性质例3若　求解：从而，1为的根．于是有，1为的重根，