2012专题：因式定理与因式分解201208用

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1、专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：=，表示这个多项式在时的值。如果我们用一次多项式作除式去除多项式，那么余式是一个数。设这时商式为多项式，余式（余数）为，则有：即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令，便得到：因此：我们有：除以，所得余数为。这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么就被整除，也就是是的因式。反过来，如果是的因式，那么就被整除，余数为0。因此，我们有：如果=0，那么是的因式。反之，如果是的因式，那么=0。9这个结论通常称为因式定理及其逆定理。需要掌握的基本技能：长除法计算：解：所以，

2、注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。例1分解因式：因为，根据上面的结论就是的一次因式。知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式。即：===例2分解因式：9因为=0，可知是的一次因式。避免分数运算，把乘以2得，仍然是的一次因式。现在可以用长除法，也可以用分组分解法，使得每组都有因式：=这里有人会问，例1、例2中如何就首先发现，=0了呢？下面讨论这个问题。2、有理根的求法如果是的因式，则，那么就是说是的根；反

3、之，在是的根时，就是的因式。问题是如何求出的根？我们假定=是整系数多项式，又设有理数是=0的根，这里是既约分数（即为互质整数）。由于，则有+两边同乘得：上式能整除左边前项，能整除左边后项，又因互质，因此：能整除，即是的约数；能整除，即是的约数。因此，可得：整系数多项式==0的有理根的分子9是常数项的约数；是首项系数的约数。找到了的有理根，那么就找到了的一次因式.例3分解因式解：=-2的因数有，的正因数有+1，+3（我们可以如此取）。所以=0的有理根只可能是.经检验可得：所以是的因式，从而也是的因式，可得：==3、字母系

4、数上述多项式都是常数系数。若遇字母系数多项式呢？例4分解因式解：常数项的因数为把代入，可得=0所以是原式的因式，同理也是原式的因式，所以：=小结：因式定理只是提供了一个寻找多项式的一次因式的方法。达到了降次的目的。如果一个整系数多项式没有有理根，那么它也就没有整系数的一次因式，这时我们可以用待定系数法来考察它有无其他因式。4、二次因式（待定系数法）例5分解因式：解：原式的有理根只可能是，但这4个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而没有有理系数一次因式。9我们设想：原式可以分为两个整系数的二次因式的乘积，于是

5、设：=（其中是整数）比较两边的系数及常数项，得：（一般来说，这样的方程不容易解！但别忘了是整数！）从入手，可得，或；将代入可解得：因此：=根据因式分解的唯一性，其他几组不必再试了。思考：能否分解为两个整系数的三次因式的积？（可用待定系数法）下面看两个综合题例6若恰好能被整除，被除余数为4，求，并将多项式进行因式分解。解：记，则代入得解得所以由于必有因式，设其商式为则9比较系数可以得到解得即例7设是三个不同的实数，是实系数多项式。已知（1）除以（）得余数；（2）除以（）得余数；（3）除以（）得余数c；求多项式除以所得的余

6、式。（意大利数奥题）解：根据余数定理，被（）除，余数为，所以=.从而，在时，值为0。同理，在、时，值也为0。所以，即除以，余式为.5、因式定理在轮换式分解中的运用对称式如果把多项式中任何两个字母互换，所得的式子与原多项式恒等，这样的多项式叫做关于这些字母的对称式。如，，，，，，┅┅轮换式一个含有多个字母的多项式中，如果将所有字母顺次轮换后，所得到的多项式恒等，则称原多项式是关于这些字母的轮换式。如：，，，，，，，┅┅显然，关于的对称式一定是轮换式。但是，关于的轮换式不一定是对称式。如：。对于次数低于3的轮换式都是对称式

7、。两个轮换式（或对称式）的和、差、积、商（假定整除）仍然是轮换式（或对称式）。关于，的齐次对称式的一般形式是：一次对称式：；二次对称式：；三次对称式：；关于，，的齐次轮换式的一般形式是：一次齐次轮换标准式：；二次齐次轮换标准式：；9三次齐次轮换标准式：；……（其中，，，均为常数）.例8分解因式：.解：是关于的轮换式如果把它看成为主元的多项式，当时，原式.则原式有因式。同样原式还有因式，.所以是原式的因式。但原式是关于的四次式，所以还应当有一个一次因式。因原式是四次齐次轮换式，所以这个一次因式也是关于的一次齐次轮换式。设

8、为，从而有：.比较的系数，得.求得.故.例9分解因式解：用上面的方法易知原式有因式.因原式是五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式。我们设：=比较两边系数可确定、。也可用特殊值法确定、。取，得：，即再取，得：，即可解得：于是可得：=5.思考题：因式分解解：如果把它看成为主元的多项式，当时，有=0所以是的因式。因为是关于的