整式与因式分解(学生用).doc

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1、星海学校2014年秋季大邑校区3L个性化一对一名师培优精讲学科年级学生姓名授课教师上课时间课次数学七年级精品班（4）吴老师2014.11.16第9讲整式与因式分解【教学目标】１．复习整式的概念及意义．２．因式分解的各种方法及其应用．３．因式分解解决实际问题．【教学重点】１．常用的因式分解方法（提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法）．２．因式分解解决实际问题．【教学难点】１．用恰当的方法对整式进行因式分解．【教学内容】前言：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我

2、们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．因式分解的常用方法第一部分：方法介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a

3、+b)(a-b)；　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；　(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；　(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知是的三边，且，则的

4、形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：例2、分解因式：练习：分解因式1、2、（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：例4、分解因式：练习：分解因式3、4、综合练习：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么

5、基本规律？例.已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求>0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：=13=1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式=1-1=1-

6、6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)(2)(3)练习6、分解因式(1)(2)(3)（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=例7、分解因式：分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：=练习7、分解因式：（1）（2）（3）（4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：==练习8、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9

7、、例10、1-2y把看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=解：原式=练习9、分解因式：（1）（2）综合练习10、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：五、换元法。例13、分解因式（1）（2）解：（1）设2005=，则原式===（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则∴原式====练习13、分解因式（1）（2）（3）例14、分解因式（1）观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数

8、依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式==设，则∴原式=======（2）解：原式==设，则∴原式====练习14、（1）（2）六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）解法1——拆项。解法2——添项。原式=原式=========（2）解：原式====练习15、分