初升高——函数周期性.doc

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1、函数周期性1．周期函数：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数），(1)，则是以为周期的周期函数；(2)，则是以为周期的周期函数；(3)，则是以为周期的周期函数；(4)，则是以为周期的周期函数；以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。(5)函数满足（），若为奇函数，则其周

2、期为，若为偶函数，则其周期为．(6)函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；(7)函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；(8)函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。（三）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有；二是能找到适合这一等式的非零常数，2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．（四）典

3、型例题【例1】（2009年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则__________。【例2】（2009天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.【例3】（学而思培优试题巧解）已知函数满足，求的值。【例4】（2011全国卷2）设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则(A)-(B)(C)(D)【例5】（2011山东卷）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3-x

4、，则函数y=f（x）的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为（A）6（B）7（C）8（D）9【例6】已知是定义在上的函数，且，则（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数（五）课堂强化【例1】（2005福建卷是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．5B．4C．3D．2【例2】定义在上的函数满足，且函数为奇函数．给出以下3个命题：①函数的周期是6；②函数的图象关于点对称；③函数的图象关于轴对称，其中，真命题

5、的个数是（）．A．3B．2C．1D．0【例3】设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称．且对任意，都有，．⑴求及；⑵证明是周期函数；【例4】已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称图形，且满足，，．那么，的值是（）A．1B．2C．D．【例1】(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()(A)－1(B)0(C)1(D)2【例2】设是上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5【例3】已知函数f(x

6、)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)【例4】函数在上有意义，且满足：⑴是偶函数；⑵；⑶是奇函数，求．【例5】是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有和，设，⑴求证是周期函数；⑵如果f（998）=1002，求f（2000）的值．（05广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．【例1】对每一个实数对x,y,函数f(t)

7、满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.（六）课后练习【例2】（2011年陕西高考题）设函数满足,则的图像可能是（）【例3】（2011年上海高考试题）设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为