初升高——抽象函数 2.doc

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1、抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知,求.2.凑配法：在已知的条件下，把拼凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知，求3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

2、例3．已知二次实函数，且+2+4,求.例5．一已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.二、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。2.确定参数的取值范围例8：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。3.解不定式的有关题目例9：如果=对任意的有,比较的大小五类抽象函数解法　　1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

3、例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足

4、，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。5、幂函数型抽象函数

5、幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。练习：2012省市部分试题1.（上海十四校联考）已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为2．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，，，（），考察下列结论，①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列，其中正确的是_______（填序号）3.（岳阳联考题）若是定义在上的函数，对任意

6、的实数，都有和且，则的值是（）A．2008B．2009C．2010D．20114．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数满足，且当时，等于（C）A．B．C．D．5.（安徽两地三校联考）定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。6.（四川省成都外国语学校）已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时，，又。(1)求

7、证：为奇函数；(2)求证：为R上的减函数；(3)解关于的不等式：.