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1、函数的奇偶性和周期性一、基本知识体系：1．奇函数、偶函数：¦(x)为奇函数⇔¦(-x)=-¦(x)；¦(x)为偶函数⇔¦(-x)=¦(x)（定义法）2．函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式,（2）利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意：①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；②若是奇函数且在处有定义，则3．图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称；（注意：若¦(0)存在，则必有¦(0)=0Þ处理填空或选择题的法宝）；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。（图象法）4．周期函数和函数的最小正周期：在定义域内，若存在有一个非零常数T，恒
2、满足¦(x+T)=¦(x)，则称T为其一个周期。若在所有的周期中，存在一个最小的正数，则称之为最小正周期。5．常见结论：①若函数¦(x)是奇函数，且¦(x)还存在有原点以外的其它对称点Þ则¦(x)必为周期函数；②若函数¦(x)是偶函数，且¦(x)还存在有y轴以外的其它对称直线Þ则¦(x)必为周期函数；③若函数¦(a+x)是奇函数Þ则¦(a+x)=-¦(a-x)；且¦(x)的图象关于点（a,0)中心对称；④若函数¦(a+x)是偶函数Þ则¦(a+x)=¦(a-x),且¦(x)的图象关于直线x=a对称；6．函数的周期性与对称性的综合：①、若¦（x+a）=¦（x+b）或¦（x+T）=¦
3、（x），则¦（x）具有周期性；若¦（a+x）=¦（b-x），则¦（x）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”；②、周期性：1）¦（x+a）=-¦（x）；2）¦（x+a）=；3）¦（x+a）=Þ则¦（x）的周期分别为2a,2a,4a;③、1）、¦（x+a）=¦（a-x）；2）¦（x+a）=¦（b-x）Þ则¦（x）对称轴分别为x=a,x=；④若有¦（x+a）=-¦（b-x）,Þ则函数¦（x）的图象关于点（,0)中心对称，特别地，若¦（x+a）=-¦（a-x），Þ则函数¦（x）的图象关于点（a,0）中心对称；⑤周期性与对称性是相互联系、紧密相关的：1）若¦（x）的图象有两条对
4、称轴x=a和x=b(a≠b)，Þ则¦（x）必为周期函数，其一个周期是2
5、b-a
6、；2）若¦（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，Þ则¦（x）必为周期函数，其一个周期是2
7、b-a
8、；3）若¦（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，Þ则¦（x）必为周期函数，其一个周期是4
9、b-a
10、；∴若函数的图象同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。奇偶函数图象的对称性（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称；（2）若是偶函数，则的图象关于点中心对称；考点题型探析考点1判断函数的奇偶性
11、及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=
12、x+1
13、－
14、x－1
15、；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。[解析]（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=
16、－x+1
17、－
18、－x－1
19、=
20、x－1
21、－
22、x+1
23、=－（
24、x+1
25、－
26、x－1
27、）=－f（x），∴f（x）=
28、x+1
29、－
30、x－1
31、是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由
32、得故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）==，∴f（－x）==－=－f（x）故f（x）为奇函数.（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.故函数f（x）为奇函数.【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D,则时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断
33、函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求证f(x)为奇函数；[思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”[解析]令x=y=0，则f(0)+f(0)=∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解
